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beweisen 1-(cot^2(θ))/(csc^2(θ))=sin^2(θ)

Lösung

beweisen

1 - \frac{cot ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ )} = sin^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - \frac{cot ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ )} = sin^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

1 - \frac{cot ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

1 - \frac{cot ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 - \frac{( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 1 - \frac{( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

1 - \frac{( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}} : 1 - cos^{2} (θ)

1 - \frac{( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

\frac{( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}} = cos^{2} (θ)

\frac{( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) \cdot 1}

Fasse zusammen

= \frac{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc^{2} (t) tan^{2} (t) - 1 = tan^{2} (t)

p ro v e \frac{1}{2} cos (x) = \frac{cos ( x )}{2}

p ro v e \frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sin ^{2} ( θ )} = sec^{2} (θ)

p ro v e sin (cot (x) + tan (x)) = sec (x)

p ro v e sin^{2} (2 x) = 4 sin^{2} (x) \cdot cos^{2} (x)