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beweisen cot(t/2)=(sin(t))/(1-cos(t))

Lösung

beweisen

cot (\frac{t}{2}) = \frac{sin ( t )}{1 - cos ( t )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cot (\frac{t}{2}) = \frac{sin ( t )}{1 - cos ( t )}

Angenommen:

u = \frac{t}{2}

cot (u) = \frac{sin ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Beweise

cot (u) = \frac{sin ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} :

Wahr

cot (u) = \frac{sin ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sin ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 - cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )} : \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

\frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{2 sin ^{2} ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( u ) cos ( u )}{sin ^{2} ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (u)

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

cot (\frac{t}{2}) = \frac{sin ( t )}{1 - cos ( t )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 - \frac{cos ^{2} ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} = sin (x)

p ro v e \frac{1}{2} sec (x) - 1 = 0

p ro v e \frac{cos ( 2 x ) + 1}{2} = cos^{2} (x)

p ro v e cos^{3} (A) = \frac{1}{4} (cos (3 A) + 3 cos (A))

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( + 1 )} = 1