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beweisen sin(x)+csc(x)cos^{(2)}(x)=csc(x)

Lösung

beweisen

sin (x) + csc (x) cos^{(2)} (x) = csc (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x) + csc (x) cos^{2} (x) = csc (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (x) + csc (x) cos^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

sin (x) + cos^{2} (x) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= sin (x) + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

sin (x) + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

sin (x) + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= sin (x) + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

sin (x) sin (x) + cos^{2} (x) = sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

sin (x) sin (x) + cos^{2} (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (x)

csc (x)

csc (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x) = 2 sin (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2})

p ro v e \frac{cos ( x )}{sec ( x ) - tan ( x )} = 1 - sin (x)

p ro v e sin^{2} (wt) = \frac{1 - cos ( 2 wt )}{2}

p ro v e sin (t) = cos (t - \frac{π}{2})

p ro v e \frac{1}{2 cot ( x ) sin ^{2} ( x )} = csc (2 x)