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prouver tan(x)sec^4(x)=(sin(x))/(cos^5(x))

Solution

prouver

tan (x) sec^{4} (x) = \frac{sin ( x )}{cos ^{5} ( x )}

vrai

étapes des solutions

tan (x) sec^{4} (x) = \frac{sin ( x )}{cos ^{5} ( x )}

En manipulant le côté gauche

tan (x) sec^{4} (x)

Exprimer avec sinus, cosinus

sec^{4} (x) tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )})^{4} tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )})^{4} \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplifier

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ^{5} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{4} ( x )} sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier

sin (x) \frac{1}{cos ^{4} ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ^{4} ( x )}

sin (x) \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ^{4} ( x )}

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x )}{c o s ^{4} ( x )}}{cos ( x )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{4} ( x ) cos ( x )}

cos^{4} (x) cos (x) = cos^{5} (x)

cos^{4} (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{4} (x) cos (x) = cos^{4 + 1} (x)

= cos^{4 + 1} (x)

Additionner les nombres :

4 + 1 = 5

= cos^{5} (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ^{5} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{5} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{5} ( x )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai