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Populaire Trigonométrie >

prouver sec(t)(csc(t)(tan(t)+cot(t)))=sec^2(t)+csc^2(t)

Solution

prouver

sec (t) (csc (t) (tan (t) + cot (t))) = sec^{2} (t) + csc^{2} (t)

Solution

vrai

étapes des solutions

sec (t) csc (t) (tan (t) + cot (t)) = sec^{2} (t) + csc^{2} (t)

En manipulant le côté gauche

sec (t) csc (t) (tan (t) + cot (t))

Exprimer avec sinus, cosinus

(cot (t) + tan (t)) csc (t) sec (t)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + tan (t)) csc (t) sec (t)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) csc (t) sec (t)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) \frac{1}{sin ( t )} sec (t)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) \frac{1}{sin ( t )} \cdot \frac{1}{cos ( t )}

Simplifier

(\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) \frac{1}{sin ( t )} \cdot \frac{1}{cos ( t )} : \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ^{2} ( t ) cos ^{2} ( t )}

(\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) \frac{1}{sin ( t )} \cdot \frac{1}{cos ( t )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot ( \frac{c o s ( t )}{s i n ( t )} + \frac{s i n ( t )}{c o s ( t )} )}{sin ( t ) cos ( t )}

1 \cdot 1 \cdot (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) = \frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

1 \cdot 1 \cdot (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )})

Multiplier:

1 \cdot 1 \cdot (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}) = (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )})

= (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )})

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

= \frac{\frac{c o s ( t )}{s i n ( t )} + \frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}}{sin ( t ) cos ( t )}

Relier

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )} : \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Plus petit commun multiple de

sin (t), cos (t) : sin (t) cos (t)

sin (t), cos (t)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin (t)

ou dans

cos (t)

= sin (t) cos (t)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin (t) cos (t)

Pour

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (t)

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} = \frac{cos ( t ) cos ( t )}{sin ( t ) cos ( t )} = \frac{cos ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

Pour

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (t)

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} = \frac{sin ( t ) sin ( t )}{cos ( t ) sin ( t )} = \frac{sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )} + \frac{sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( t ) + s i n ^{2} ( t )}{s i n ( t ) c o s ( t )}}{sin ( t ) cos ( t )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) cos ( t ) sin ( t ) cos ( t )}

sin (t) cos (t) sin (t) cos (t) = sin^{2} (t) cos^{2} (t)

sin (t) cos (t) sin (t) cos (t)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (t) cos (t) = cos^{1 + 1} (t)

= sin (t) sin (t) cos^{1 + 1} (t)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= sin (t) sin (t) cos^{2} (t)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (t) sin (t) = sin^{1 + 1} (t)

= sin^{1 + 1} (t) cos^{2} (t)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= sin^{2} (t) cos^{2} (t)

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ^{2} ( t ) cos ^{2} ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{sin ^{2} ( t ) cos ^{2} ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t ) sin ^{2} ( t )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{cos ^{2} ( t ) + ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}{cos ^{2} ( t ) ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{( \frac{1}{s e c ( t )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s e c ( t )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}

Simplifier

\frac{( \frac{1}{s e c ( t )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s e c ( t )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( t )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( t )}

(\frac{1}{sec ( t )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( t )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( t )}

= \frac{( \frac{1}{s e c ( t )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2} \frac{1}{s e c ^{2} ( t )}}

(\frac{1}{csc ( t )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

(\frac{1}{csc ( t )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( t )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

= \frac{( \frac{1}{s e c ( t )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c s c ( t )} ) ^{2}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( t )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( t )}}

(\frac{1}{sec ( t )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( t )}

(\frac{1}{sec ( t )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( t )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( t )}

(\frac{1}{csc ( t )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

(\frac{1}{csc ( t )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( t )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

= \frac{\frac{1}{s e c ^{2} ( t )} + \frac{1}{c s c ^{2} ( t )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( t )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( t )}}

Multiplier

\frac{1}{sec ^{2} ( t )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( t )} : \frac{1}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

\frac{1}{sec ^{2} ( t )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

= \frac{\frac{1}{s e c ^{2} ( t )} + \frac{1}{c s c ^{2} ( t )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( t ) c s c ^{2} ( t )}}

Relier

\frac{1}{sec ^{2} ( t )} + \frac{1}{csc ^{2} ( t )} : \frac{csc ^{2} ( t ) + sec ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

\frac{1}{sec ^{2} ( t )} + \frac{1}{csc ^{2} ( t )}

Plus petit commun multiple de

sec^{2} (t), csc^{2} (t) : sec^{2} (t) csc^{2} (t)

sec^{2} (t), csc^{2} (t)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sec^{2} (t)

ou dans

csc^{2} (t)

= sec^{2} (t) csc^{2} (t)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sec^{2} (t) csc^{2} (t)

Pour

\frac{1}{sec ^{2} ( t )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

csc^{2} (t)

\frac{1}{sec ^{2} ( t )} = \frac{1 \cdot csc ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )} = \frac{csc ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

Pour

\frac{1}{csc ^{2} ( t )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sec^{2} (t)

\frac{1}{csc ^{2} ( t )} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( t )}{csc ^{2} ( t ) sec ^{2} ( t )} = \frac{sec ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

= \frac{csc ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )} + \frac{sec ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{csc ^{2} ( t ) + sec ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

= \frac{\frac{c s c ^{2} ( t ) + s e c ^{2} ( t )}{s e c ^{2} ( t ) c s c ^{2} ( t )}}{\frac{1}{s e c ^{2} ( t ) c s c ^{2} ( t )}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( csc ^{2} ( t ) + sec ^{2} ( t ) ) sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t ) \cdot 1}

Redéfinir

= \frac{( csc ^{2} ( t ) + sec ^{2} ( t ) ) sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}{sec ^{2} ( t ) csc ^{2} ( t )}

Annuler le facteur commun :

sec^{2} (t)

= \frac{( csc ^{2} ( t ) + sec ^{2} ( t ) ) csc ^{2} ( t )}{csc ^{2} ( t )}

Annuler le facteur commun :

csc^{2} (t)

= csc^{2} (t) + sec^{2} (t)

csc^{2} (t) + sec^{2} (t)

csc^{2} (t) + sec^{2} (t)

= sec^{2} (t) + csc^{2} (t)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver (1+sin(x))^2+cos^2(x)=2+2sin(x)

prouver cot(60)=(cos(60))/(sin(60))

prouver tan(-x)tan(pi/2-x)=-1

prouver tan(pi-θ)=-tan(x)

prouver cot(θ)(sin(θ)+tan(θ))=cos(θ)+1