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provar cos(300)=1-2sin^2(150)

Solução

provar

cos (30 0^{\circ}) = 1 - 2 sin^{2} (15 0^{\circ})

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

cos (30 0^{\circ}) = 1 - 2 sin^{2} (15 0^{\circ})

Manipular o lado direito

cos (30 0^{\circ})

Simplificar

cos (30 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

cos (30 0^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cos (18 0^{\circ}) cos (12 0^{\circ}) - sin (18 0^{\circ}) sin (12 0^{\circ})

cos (30 0^{\circ})

Escrever

cos (30 0^{\circ})

como

cos (18 0^{\circ} + 12 0^{\circ})

= cos (18 0^{\circ} + 12 0^{\circ})

Use a identidade de soma de ângulos:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (18 0^{\circ}) cos (12 0^{\circ}) - sin (18 0^{\circ}) sin (12 0^{\circ})

= cos (18 0^{\circ}) cos (12 0^{\circ}) - sin (18 0^{\circ}) sin (12 0^{\circ})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (18 0^{\circ}) = (- 1)

cos (18 0^{\circ})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (12 0^{\circ}) = - \frac{1}{2}

cos (12 0^{\circ})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{1}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (18 0^{\circ}) = 0

sin (18 0^{\circ})

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (12 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (12 0^{\circ})

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

= (- 1) (- \frac{1}{2}) - 0 \cdot \frac{3}{2}

Simplificar

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

Manipular o lado esquerdo

1 - 2 sin^{2} (15 0^{\circ})

Simplificar

1 - 2 sin^{2} (15 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

1 - 2 sin^{2} (15 0^{\circ})

2 sin^{2} (15 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

2 sin^{2} (15 0^{\circ})

sin^{2} (15 0^{\circ}) = \frac{1}{2 ^{2}}

sin^{2} (15 0^{\circ})

Simplificar

sin (15 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

sin (15 0^{\circ})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (15 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 2 \cdot \frac{1}{2 ^{2}}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2}{2 ^{2}}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

= 1 - \frac{1}{2}

Simplificar

1 - \frac{1}{2}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Subtrair:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar csc^2(x)+3cot^2(x)-5=4(cot(x)-1)

p ro v e csc^{2} (x) + 3 cot^{2} (x) - 5 = 4 (cot (x) - 1)

provar (3)((cos(2z))^2)/2 =(3cos(4z))/4

p ro v e (3) \frac{( cos ( 2 z ) ) ^{2}}{2} = \frac{3 cos ( 4 z )}{4}

provar-2sin^2(x)+cos(x)+1=0

p ro v e - 2 sin^{2} (x) + cos (x) + 1 = 0

provar (2cot(u))/(csc^2(u)-2)=tan(2u)

p ro v e \frac{2 cot ( u )}{csc ^{2} ( u ) - 2} = tan (2 u)

provar csc(2x)+cot(2x)=(1+cos(2x))/(sin(2x))

p ro v e csc (2 x) + cot (2 x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}