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Popular Trigonometría >

3cos^2(x)+5cos(x)-2<0

Solución

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Solución

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Notación de intervalos

(arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn)

Decimal

1.23095 \dots + 2 πn < x < 5.05222 \dots + 2 πn

Pasos de solución

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Sea:

u = cos (x)

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0 : - 2 < u < \frac{1}{3}

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

Factorizar

3 u^{2} + 5 u - 2 : (3 u - 1) (u + 2)

3 u^{2} + 5 u - 2

Factorizar la expresión

3 u^{2} + 5 u - 2

Definición

Factores de

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

6 : 2, 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

6

1, 6

Divisores de

6

1, 2, 3, 6

Factores negativos de

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 6

Por cada dos factores tales que

u * v = - 6,

revisar si

u + v = 5

Revisar

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Falso

u = 6, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

= (3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

Factorizar

u

3 u^{2} - u

u (3 u - 1)

3 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (3 u - 1)

Factorizar

2

6 u - 2

2 (3 u - 1)

6 u - 2

Reescribir

6

como

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 u - 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 u - 1)

= u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)

Factorizar el termino común

3 u - 1

= (3 u - 1) (u + 2)

(3 u - 1) (u + 2) < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(3 u - 1) (u + 2)

Encontrar los signos de

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

3 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

3 u = 1

3 u = 1

Dividir ambos lados entre

3

3 u = 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Simplificar

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

3 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

3 u < 1

3 u < 1

Dividir ambos lados entre

3

3 u < 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Simplificar

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

3 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

3 u > 1

3 u > 1

Dividir ambos lados entre

3

3 u > 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Simplificar

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Encontrar los signos de

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Desplace

2

a la derecha

u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Desplace

2

a la derecha

u + 2 < 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplificar

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Desplace

2

a la derecha

u + 2 > 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplificar

u > - 2

u > - 2

Resumir en una tabla:

3 u - 1 u + 2 (3 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{3} - + - u = \frac{1}{3} 0 + 0 u > \frac{1}{3} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

- 2 < cos (x) < \frac{1}{3}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- 2 < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{3}

- 2 < cos (x) :

Verdadero para todo

x \in R

- 2 < cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) > - 2

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > - 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > - 2

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

cos (x) < \frac{1}{3} : arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{3}

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combinar los rangos

Verdadero para todo x \in R and arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x)<= 1/2

1+cos(2t)>= 0

15cos(pi/(15)x-(2pi)/3)+95<= 105

sin(θ)>0,sec(θ)<0

arctan(x)>0