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Popular Trigonometría >

tan(x)-cot(x)>0

Solución

tan (x) - cot (x) > 0

Solución

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Decimal

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

tan (x) - cot (x) > 0

Periodicidad de

tan (x) - cot (x) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

tan (x), cot (x)

Periodicidad de

tan (x) : π

La periodicidad de

tan (x)

π

= π

Periodicidad de

cot (x) : π

La periodicidad de

cot (x)

π

= π

Combinar períodos:

π, π

= π

Expresar con seno, coseno

tan (x) - cot (x) > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - cot (x) > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} > 0

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} > 0

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Mínimo común múltiplo de

cos (x), sin (x) : cos (x) sin (x)

cos (x), sin (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (x)

sin (x)

= cos (x) sin (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} - \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} > 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

para

0 \leq x < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

- cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = - cos (2 x)

= - cos (2 x)

- cos (2 x) = 0

Dividir ambos lados entre

- 1

- cos (2 x) = 0

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- cos ( 2 x )}{- 1} = \frac{0}{- 1}

Simplificar

cos (2 x) = 0

cos (2 x) = 0

Soluciones generales para

cos (2 x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Resolver

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Resolver

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = 0

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) sin (x) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) = 0 or sin (x) = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = 0

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2}, x = 0

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Resumir en una tabla:

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) cos (x) sin (x) \frac{s i n ^{2} ( x ) - c o s ^{2} ( x )}{c o s ( x ) s i n ( x )} x = 0 - + 0 Sin definir 0 < x < \frac{π}{4} - + + - x = \frac{π}{4} 0 + + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} + 0 + Sin definir \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - + - x = \frac{3 π}{4} 0 - + 0 \frac{3 π}{4} < x < π - - + + x = π - - 0 Sin definir

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

Utilizar la periodicidad de

tan (x) - cot (x)

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Ejemplos populares