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Popolare Trigonometria >

sin^2(x)+cos(x)>= 1

Soluzione

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Soluzione

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn]

Decimale

- 1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.57079 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

sin^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) + cos (x) \geq 1

Sia:

u = cos (x)

1 - u^{2} + u \geq 1

1 - u^{2} + u \geq 1 : 0 \leq u \leq 1

1 - u^{2} + u \geq 1

Riscrivere in forma standard

1 - u^{2} + u \geq 1

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - u^{2} + u - 1 \geq 1 - 1

Semplificare

- u^{2} + u \geq 0

- u^{2} + u \geq 0

Fattorizza

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Fattorizzare dal termine comune

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \geq 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

(- u (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Semplificare

u (u - 1) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

u (u - 1)

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Riassumere in una tabella:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < 1 or u = 1

Unire gli intervalli sovrapposti

0 \leq u < 1 or u = 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = 0

0 < u < 1

0 \leq u < 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u < 1

u = 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

0 \leq u \leq 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

0 \leq cos (x) \leq 1

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

0 \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

0 \leq cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

0 \leq cos (x)

Scambia i lati

cos (x) \geq 0

Per

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn \leq x \leq arccos (0) + 2 πn

Semplificare

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Semplificare

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

Vero per tutti

x \in R

cos (x) \leq 1

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Esempi popolari

cos(x)>= (sqrt(3))/2

cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos(x)-1>= 0

cos (x) - 1 \geq 0

2sin(x/2)-1>0

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 > 0

sin(3x)<(sqrt(2))/2

sin (3 x) < \frac{2}{2}

sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2

sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}