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Popular Trigonometría >

-12cos(2x)+12sin(x)>0

Solución

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

Solución

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

Decimal

0.52359 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

Pasos de solución

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

Usar la siguiente identidad:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

- 12 (1 - 2 sin^{2} (x)) + 12 sin (x) > 0

Sea:

u = sin (x)

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

Reescribir en la forma estándar

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

Expandir

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u : - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u

Expandir

- 12 (1 - 2 u^{2}) : - 12 + 24 u^{2}

- 12 (1 - 2 u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 12, b = 1, c = 2 u^{2}

= - 12 \cdot 1 - (- 12) \cdot 2 u^{2}

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2} : - 12 + 24 u^{2}

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

12 \cdot 1 = 12

= - 12 + 12 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

12 \cdot 2 = 24

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 + 24 u^{2} + 12 u > 0

Dividir ambos lados entre

12

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

Simplificar

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12} : 2 u^{2} + u - 1 > 0

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

Simplificar

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} : 2 u^{2} + u - 1

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

Dividir:

\frac{24}{12} = 2

= - 1 + 2 u^{2} + \frac{12 u}{12}

Dividir:

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + 2 u^{2} + u

Reescribir en la forma estándar

= 2 u^{2} + u - 1

\frac{0}{12} = 0

\frac{0}{12}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

Factorizar

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} + u - 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Verdadero

u = 2, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u + 1)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) < - 1 or sin (x) > \frac{1}{2}

sin (x) < - 1 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) < - 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

sin (x) > \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) > \frac{1}{2}

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar los rangos

Falso para todo x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

(-1/5)*sin(2 pi/5 (x+1))+1<= 16/15