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Popular Trigonometría >

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

Solución

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

Solución

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Decimal

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Pasos de solución

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

Sea:

u = sin (x)

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq 1

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

Factorizar

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} - 3 u + 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = 2,

revisar si

u + v = - 3

Revisar

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Verdadero

u = - 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

Factorizar

- 1

- 2 u + 1

- (2 u - 1)

- 2 u + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u - 1)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} \leq u < 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

\frac{1}{2} \leq u < 1

u = 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq 1

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq 1

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

Verdadero para todo

x \in R

sin (x) \leq 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Combinar los rangos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Verdadero para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares