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2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

Solução

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

Solução

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notação de intervalo

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Decimal

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Passos da solução

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

Sea:

u = sin (x)

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq 1

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

Fatorar

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Fatorar a expressão

2 u^{2} - 3 u + 1

Definição

Fatores de

2 : 1, 2

2

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Adicione 1

1

Divisores de

2

1, 2

Fatores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2

Para cada dois fatores tais que

u * v = 2,

verifique se

u + v = - 3

Verifique

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Verdadeiro

u = - 1, v = - 2

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Fatorar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u - 1)

Fatorar

- 1

- 2 u + 1

- (2 u - 1)

- 2 u + 1

Fatorar o termo comum

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Fatorar o termo comum

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) \leq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

(2 u - 1) (u - 1)

Encontre os sinais de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontre os sinais de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir em uma tabela:

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} \leq u < 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

\frac{1}{2} \leq u < 1

u = 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

Substituir na equação

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq 1

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq 1

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Trocar lados

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Converter para fração:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Somar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

Verdadeiro para todo

x \in R

sin (x) \leq 1

Imagem de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Considere

y = sin (x)

Combinar os intervalos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

Combinar os intervalos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Verdadeiro para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Exemplos populares

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

cot(θ)<sqrt(3)

cot (θ) < 3

cos(2x)<= sin(x)

cos (2 x) \leq sin (x)

sin(x)cos(2x)>= 0

sin (x) cos (2 x) \geq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)>0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) > 0