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受欢迎的三角函数 >

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

解答

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

解答

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

+2

间隔符号

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

十进制

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

求解步骤

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

令

: u = sin (x)

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq 1

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

分解

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

将表达式拆分成组

2 u^{2} - 3 u + 1

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = 2

，检验是否

u + v = - 3

检验

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

假检验

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

真

u = - 1, v = - 2

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

从

2 u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

因式分解出通项

u

= u (2 u - 1)

从

- 2 u + 1

分解出因式

- 1

:

- (2 u - 1)

- 2 u + 1

因式分解出通项

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

因式分解出通项

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) \leq 0

确定区间

确定

(2 u - 1) (u - 1)

符号

确定

2 u - 1

符号

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

将

1

到右边

2 u - 1 = 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 u = 1

2 u = 1

两边除以

2

2 u = 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

化简

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

将

1

到右边

2 u - 1 < 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

2 u < 1

2 u < 1

两边除以

2

2 u < 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

化简

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

将

1

到右边

2 u - 1 > 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

2 u > 1

2 u > 1

两边除以

2

2 u > 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

化简

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

总结如下表：

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

合并重叠的区间

\frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u = \frac{1}{2}

or

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} \leq u < 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

\frac{1}{2} \leq u < 1

or

u = 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

u = sin (x)

代回

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq 1

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq 1

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

交换两边

sin (x) \geq \frac{1}{2}

对于

sin (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

化简

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

化简

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

化简

π - \frac{π}{6}

将项转换为分式:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

同类项相加:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

对所有

x \in R

为真

sin (x) \leq 1

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

令

y = sin (x)

合并区间

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \leq 1

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

合并区间

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and 对所有 x \in R 为真

合并重叠的区间

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

流行的例子

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

cot(θ)<sqrt(3)

cot (θ) < 3

cos(2x)<= sin(x)

cos (2 x) \leq sin (x)

sin(x)cos(2x)>= 0

sin (x) cos (2 x) \geq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)>0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) > 0