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Popular Trigonometria >

2(cos(x))^2+5sin(x)-3>2sin(x)

Solução

2 (cos (x))^{2} + 5 sin (x) - 3 > 2 sin (x)

Solução

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notação de intervalo

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

Decimal

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

Passos da solução

2 (cos (x))^{2} + 5 sin (x) - 3 > 2 sin (x)

Mova

2 sin (x)

para o lado esquerdo

2 (cos (x))^{2} + 5 sin (x) - 3 > 2 sin (x)

Subtrair

2 sin (x)

de ambos os lados

2 (cos (x))^{2} + 5 sin (x) - 3 - 2 sin (x) > 2 sin (x) - 2 sin (x)

2 (cos (x))^{2} + 5 sin (x) - 3 - 2 sin (x) > 2 sin (x) - 2 sin (x)

Simplificar

2 (cos (x))^{2} + 5 sin (x) - 3 - 2 sin (x) : 2 cos^{2} (x) + 3 sin (x) - 3

2 (cos (x))^{2} + 5 sin (x) - 3 - 2 sin (x)

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{2} (x) + 5 sin (x) - 2 sin (x) - 3

Somar elementos similares:

5 sin (x) - 2 sin (x) = 3 sin (x)

= 2 cos^{2} (x) + 3 sin (x) - 3

2 sin (x) - 2 sin (x)

Somar elementos similares:

2 sin (x) - 2 sin (x) > 0

= 0

2 cos^{2} (x) + 3 sin (x) - 3 > 0

2 cos^{2} (x) + 3 sin (x) - 3 > 0

2 cos^{2} (x) + 3 sin (x) - 3 > 0

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x)) + 3 sin (x) - 3 > 0

Simplificar

2 (1 - sin^{2} (x)) + 3 sin (x) - 3 : 3 sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1

2 (1 - sin^{2} (x)) + 3 sin (x) - 3

Expandir

2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 - 2 sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (x)

= 2 - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 3

Simplificar

2 - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 3 : 3 sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1

2 - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 3

Agrupar termos semelhantes

= - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 2 - 3

Somar/subtrair:

2 - 3 = - 1

= 3 sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1

= 3 sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1

3 sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1 > 0

Sea:

u = sin (x)

3 u - 2 u^{2} - 1 > 0

3 u - 2 u^{2} - 1 > 0 : \frac{1}{2} < u < 1

3 u - 2 u^{2} - 1 > 0

Fatorar

3 u - 2 u^{2} - 1 : - (2 u - 1) (u - 1)

3 u - 2 u^{2} - 1

Fatorar o termo comum

- 1

= - (2 u^{2} - 3 u + 1)

Fatorar

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} - 3 u + 1

Fatorar a expressão

2 u^{2} - 3 u + 1

Definição

Fatores de

2 : 1, 2

2

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Adicione 1

1

Divisores de

2

1, 2

Fatores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2

Para cada dois fatores tais que

u * v = 2,

verifique se

u + v = - 3

Verifique

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Verdadeiro

u = - 1, v = - 2

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Fatorar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u - 1)

Fatorar

- 1

- 2 u + 1

- (2 u - 1)

- 2 u + 1

Fatorar o termo comum

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Fatorar o termo comum

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

= - (2 u - 1) (u - 1)

- (2 u - 1) (u - 1) > 0

Multiplique ambos os lados por

- 1

(inverta a desigualdade)

(- (2 u - 1) (u - 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(2 u - 1) (u - 1) < 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

(2 u - 1) (u - 1)

Encontre os sinais de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontre os sinais de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir em uma tabela:

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

< 0

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

Substituir na equação

u = sin (x)

\frac{1}{2} < sin (x) < 1

a < u < b

então

a < u and u < b

\frac{1}{2} < sin (x) and sin (x) < 1

\frac{1}{2} < sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x)

Trocar lados

sin (x) > \frac{1}{2}

Para

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Converter para fração:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Somar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

Para

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (1) : - \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

Simplificar

- π - \frac{π}{2}

Converter para fração:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{2}

Somar elementos similares:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

Simplificar

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar os intervalos

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Exemplos populares

1-cos^2(y)>0

1 - cos^{2} (y) > 0

3tan^2(x)+sqrt(3)tan(x)<= 0

3 tan^{2} (x) + 3 tan (x) \leq 0

tan(5x)<= 1

tan (5 x) \leq 1

(-1)/(16)sec^3(t)>0

\frac{- 1}{16} sec^{3} (t) > 0

cos(x)<= sin(x)

cos (x) \leq sin (x)