English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

solvefor x,sin(x)cos(2x)>0

الحلّ

solve for

x, sin (x) cos (2 x) > 0

الحلّ

2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

خطوات الحلّ

sin (x) cos (2 x) > 0

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:استخدم المتطابقة التالية

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) > 0

u = sin (x) :

على افتراض أنّ

(1 - 2 u^{2}) u > 0

(1 - 2 u^{2}) u > 0 : u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

(1 - 2 u^{2}) u > 0

(1 - 2 u^{2}) u

حلل إلى عوامل:

- u (2 u + 1) (2 u - 1)

(1 - 2 u^{2}) u

- 2 u^{2} + 1

حلل إلى عوامل:

- (2 u + 1) (2 u - 1)

- 2 u^{2} + 1

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (2 u^{2} - 1)

2 u^{2} - 1

حلل إلى عوامل:

(2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

(2 u)^{2} - 1^{2}

كـ

2 u^{2} - 1

اكتب مجددًا

2 u^{2} - 1

a = (a)^{2}

:فعْل قانون الجذور

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

1^{2}

كـ

1

اكتب مجددًا

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

:فعّل قانون القوى

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

فعّل قانون فرق المربّعات

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= - (2 u + 1) (2 u - 1)

= - u (2 u + 1) (2 u - 1)

- u (2 u + 1) (2 u - 1) > 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

(- u (2 u + 1) (2 u - 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

بسّط

u (2 u + 1) (2 u - 1) < 0

ميّز المقاطع المختلفة

u (2 u + 1) (2 u - 1)

:جد إشارة كل واحد من عوامل

u

:جد إشارة

u = 0

u < 0

u > 0

2 u + 1

:جد إشارة

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

2 u = - 1

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

بسّط

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

\frac{2 u}{2}

بسّط:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{- 1}{2}

بسّط:

- \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

حوّل لصيغة عدد كسريّ:

- \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{2}

اضرب بالمرافق

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:فعْل قانون الجذور

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 < 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

بسّط

2 u < - 1

2 u < - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u < - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

بسّط

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

\frac{2 u}{2}

بسّط:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{- 1}{2}

بسّط:

- \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

حوّل لصيغة عدد كسريّ:

- \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{2}

اضرب بالمرافق

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:فعْل قانون الجذور

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 > 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

بسّط

2 u > - 1

2 u > - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u > - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

بسّط

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

\frac{2 u}{2}

بسّط:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{- 1}{2}

بسّط:

- \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

حوّل لصيغة عدد كسريّ:

- \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{2}

اضرب بالمرافق

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:فعْل قانون الجذور

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

2 u - 1

:جد إشارة

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

2 u = 1

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

بسّط

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

\frac{2 u}{2}

بسّط:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{1}{2}

بسّط:

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

اضرب بالمرافق

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:فعْل قانون الجذور

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

2 u < 1

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

بسّط

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

\frac{2 u}{2}

بسّط:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{1}{2}

بسّط:

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

اضرب بالمرافق

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:فعْل قانون الجذور

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

2 u > 1

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

بسّط

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

\frac{2 u}{2}

بسّط:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{1}{2}

بسّط:

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

اضرب بالمرافق

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:فعْل قانون الجذور

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

لخّص في جدول

u 2 u + 1 2 u - 1 u (2 u + 1) (2 u - 1) u < - \frac{2}{2} - - - - u = - \frac{2}{2} - 0 - 0 - \frac{2}{2} < u < 0 - + - + u = 0 0 + - 0 0 < u < \frac{2}{2} + + - - u = \frac{2}{2} + + 00 u > \frac{2}{2} + + + +

< 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) < - \frac{2}{2} or 0 < sin (x) < \frac{2}{2}

sin (x) < - \frac{2}{2} : - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < - \frac{2}{2}

For

sin (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{2}{2})

بسّط:

- \frac{3 π}{4}

- π - arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= - π - (- \frac{π}{4})

بسّط

- π - (- \frac{π}{4})

- (- a) = a

فعّل القانون

= - π + \frac{π}{4}

π = \frac{π 4}{4}

:حوّل الأعداد لكسور

= - \frac{π 4}{4} + \frac{π}{4}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 4 + π}{4}

- 4 π + π = - 3 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- 3 π}{4}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{3 π}{4}

= - \frac{3 π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

بسّط:

- \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

0 < sin (x) < \frac{2}{2} : 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x) < \frac{2}{2}

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

0 < sin (x) and sin (x) < \frac{2}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

بدّل الأطراف

sin (x) > 0

For

sin (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

arcsin (0)

بسّط:

0

arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

π - arcsin (0)

بسّط:

π

π - arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

بسّط

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2} : - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2}

For

sin (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2})

بسّط:

- \frac{5 π}{4}

- π - arcsin (\frac{2}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{4}

بسّط

- π - \frac{π}{4}

π = \frac{π 4}{4}

:حوّل الأعداد لكسور

= - \frac{π 4}{4} - \frac{π}{4}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 4 - π}{4}

- 4 π - π = - 5 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- 5 π}{4}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{5 π}{4}

= - \frac{5 π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

بسّط:

\frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

وحّد المقاطع

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn

وحّد المقاطع

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn or (2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn)

ادمج المجالات المتطابقة

2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

أمثلة شائعة

cos(2x)>= 1

cos (2 x) \geq 1

cos(x)-sin(x)>=-1

cos (x) - sin (x) \geq - 1

sin(x)-sqrt(3)cos(x)>0

sin (x) - 3 cos (x) > 0

sin^2(x)>1

sin^{2} (x) > 1

pi/2-arctan(x^4)<0.0001

\frac{π}{2} - arctan (x^{4}) < 0.0001