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人気のある三角関数 >

4sin^2(x)+3tan(x)>sec^2(x)

解

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

解

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

+2

区間表記

(\frac{π}{12} + πn, \frac{5 π}{12} + πn)

十進法表記

0.26179 \dots + πn < x < 1.30899 \dots + πn

解答ステップ

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

sec^{2} (x)

を左側に移動します

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

両辺から

sec^{2} (x)

を引く

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > sec^{2} (x) - sec^{2} (x)

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

次の恒等を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

このため

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

以下の周期性:

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) : π

周期関数の合計の複合周期性は, 周期の最小公倍数である

4 (1 - cos^{2} (x)), 3 tan (x), sec^{2} (x)

以下の周期性:

4 (1 - cos^{2} (x)) : π

n が偶数の場合は

cos^{n} (x) = \frac{Periodicity of cos ( x )}{2}

の周期性

以下の周期性:

cos (x) : 2 π

cos (x)

の周期性は

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

簡素化

π

以下の周期性:

3 tan (x) : π

の周期性

periodicity of tan (x) ∣ b ∣

tan (x)

の周期性は

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

簡素化

= π

以下の周期性:

sec^{2} (x) : π

n が偶数の場合は

sec^{n} (x) = \frac{Periodicity of sec ( x )}{2}

の周期性

以下の周期性:

sec (x) : 2 π

sec (x)

の周期性は

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

簡素化

π

周期を組み合わせる:

π, π, π

= π

サイン, コサインで表わす

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sec^{2} (x) > 0

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

簡素化

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= 4 (- cos^{2} (x) + 1) + \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

元を分数に変換する:

4 (- cos^{2} (x) + 1) = \frac{4 ( - cos ^{2} ( x ) + 1 )}{1}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} + \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

以下の最小公倍数:

1, cos (x), cos^{2} (x) : cos^{2} (x)

1, cos (x), cos^{2} (x)

最小公倍数 (LCM)

因数分解された式の 1 つ以上に合わられる因数で構成された式を計算する

= cos^{2} (x)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

cos^{2} (x)

\frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos^{2} (x)

\frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot cos ^{2} ( x )} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 3 cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} > 0

以下の

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

のゼロと未定義ポイントを求める

0 \leq x < π

ゼロを求めるには, 不等式をゼロに設定する

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + (1 - cos^{2} (x)) \cdot 4 cos^{2} (x) + 3 cos (x) sin (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x) = 0

因数

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x) : (4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

式をグループに分ける

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) + 3 sin (x) cos (x) - 1

定義

以下の因数:

4 : 1, 2, 4

4

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

4 : 2, 2

4

424 = 2 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2

2

は素数なので, さらに因数分解はできない

= 2 \cdot 2

素因数を加える:

2

1 および

4

の数自体を加える

1, 4

以下の因数:

4

1, 2, 4

以下の負の因数:

4 : - 1, - 2, - 4

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2, - 4

u * v = - 4

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 3

以下をチェックする:

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

偽

u = 4, v = - 1

以下に分ける:

(a x^{2} y^{2} + ux y) + (vx y + c)

(4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

= (4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

sin (x) cos (x)

を

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x) : sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

からくくり出す

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) cos^{2} (x) = sin (x) sin (x) cos (x) cos (x)

= 4 sin (x) sin (x) cos (x) cos (x) - sin (x) cos (x)

共通項をくくり出す

sin (x) cos (x)

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

共通項をくくり出す

4 sin (x) cos (x) - 1

= (4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

(4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1) = 0

各部分を別個に解く

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0 or sin (x) cos (x) + 1 = 0

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

三角関数の公式を使用して書き換える

4 sin (x) cos (x) - 1

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

- 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 2 sin (2 x)

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

数を割る:

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin (2 x)

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

1

を右側に移動します

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

両辺に

1

を足す

- 1 + 2 sin (2 x) + 1 = 0 + 1

簡素化

2 sin (2 x) = 1

2 sin (2 x) = 1

以下で両辺を割る

2

2 sin (2 x) = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = \frac{1}{2}

以下の一般解

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

解く

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

数を乗じる:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

解く

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

数を乗じる:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

範囲の解答

0 \leq x < π

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π :

解なし

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π

三角関数の公式を使用して書き換える

sin (x) cos (x) + 1

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2}

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

1

を右側に移動します

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

両辺から

1

を引く

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} - 1 = 0 - 1

簡素化

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

以下で両辺を乗じる:

2

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

以下で両辺を乗じる:

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = 2 (- 1)

簡素化

sin (2 x) = - 2

sin (2 x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

解なし

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

未定義ポイントを求める:

x = \frac{π}{2}

分母のゼロを求める

cos^{2} (x) = 0

規則を適用

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

以下の一般解

cos (x) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{π}{2}

区間を特定する

0 < x < \frac{π}{12}, \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π

表で要約する:

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 cos^{2} (x) \frac{4 c o s ^{2} ( x ) ( 1 - c o s ^{2} ( x ) ) + 3 s i n ( x ) c o s ( x ) - 1}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 - + - 0 < x < \frac{π}{12} - + - x = \frac{π}{12} 0 + 0 \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12} + + + x = \frac{5 π}{12} 0 + 0 \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} - 0 未定義 \frac{π}{2} < x < π - + - x = π - + -

必要条件を満たす区間を特定する:

> 0

\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}

以下の周期性を適用する:

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x)

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

人気の例

sin (4 x + 1 7^{\circ}) > 0

3sin((pix)/(12)-pi/2)<=-2

3 sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{2}) \leq - 2

-sin(x)(2+sin(x))-cos^2(x)>0

- sin (x) (2 + sin (x)) - cos^{2} (x) > 0

1/(sqrt(3))<tan(x)

\frac{1}{3} < tan (x)

6 cos (θ) \geq 0