English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)>= 0

الحلّ

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

الحلّ

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

تدوين الفاصل الزمني

[\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn]

عشري

2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.18879 \dots + 2 πn

خطوات الحلّ

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

u = cos (x) :

على افتراض أنّ

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

Rewrite in standard form

(u - 1) (u + \frac{1}{2}) \geq 0

(u - 1) (u + \frac{1}{2})

وسٌع:

u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

(u - 1) (u + \frac{1}{2})

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

فعّل قانون التوزيع

a = u, b = - 1, c = u, d = \frac{1}{2}

= uu + u \frac{1}{2} + (- 1) u + (- 1) \frac{1}{2}

فعّل قوانين سالب-موجب

+ (- a) = - a

= uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

بسّط:

u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

uu + \frac{1}{2} u - 1 \cdot u - 1 \cdot \frac{1}{2}

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u = - \frac{1}{2} u :

اجمع العناصر المتشابهة

\frac{1}{2} u - 1 \cdot u

u

قم باخراج العامل المشترك

= u (\frac{1}{2} - 1)

\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} - 1

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{1}{2} - \frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}

1 - 1 \cdot 2 = - 1

1 - 1 \cdot 2

1 \cdot 2 = 2 :

اضرب الأعداد

= 1 - 2

1 - 2 = - 1 :

اطرح الأعداد

= - 1

= \frac{- 1}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} u

= uu - \frac{1}{2} u - 1 \cdot \frac{1}{2}

uu = u^{2}

uu

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= u^{2}

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} :

اضرب

= \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

= u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}

u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2} \geq 0

2

اضرب الطرفين بـ

u^{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} u \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \geq 0 \cdot 2

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

2 u^{2} - u - 1 \geq 0

2 u^{2} - u - 1

حلل إلى عوامل:

(2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

قسّم التعابير لمجموعات

2 u^{2} - u - 1

تعريف

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

2

= 2

Add 1

1

2

قواسم

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = - 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

صحيحCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

خطأ

u = 1, v = - 2

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

من

u

اخرج العامل

2 u^{2} + u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= 2 uu + u

u

قم باخراج العامل المشترك

= u (2 u + 1)

- (2 u + 1)

- 2 u - 1

من

- 1

اخرج العامل

- 2 u - 1

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

2 u + 1

قم باخراج العامل المشترك

= (2 u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u - 1) \geq 0

ميّز المقاطع المختلفة

(2 u + 1) (u - 1)

:جد إشارة كل واحد من عوامل

2 u + 1

:جد إشارة

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

2 u = - 1

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

بسّط

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 < 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

بسّط

2 u < - 1

2 u < - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u < - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

بسّط

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 > 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

بسّط

2 u > - 1

2 u > - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u > - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

بسّط

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

u - 1

:جد إشارة

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

u > 1

u > 1

لخّص في جدول

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

\geq 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

ادمج المجالات المتطابقة

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u < - \frac{1}{2}

או

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u \leq - \frac{1}{2}

או

u = 1

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

או

u > 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u = cos (x)

استبدل مجددًا

cos (x) \leq - \frac{1}{2} or cos (x) \geq 1

cos (x) \leq - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{1}{2}

For

cos (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2})

بسّط:

\frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

بسّط:

\frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

بسّط

2 π - \frac{2 π}{3}

2 π = \frac{2 π 3}{3}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

2 \cdot 3 = 6 :

اضرب الأعداد

= 6 π - 2 π

6 π - 2 π = 4 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq 1 : x \in R

لا يوجد حلّ لـ

cos (x) \geq 1

For

cos (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (1) + 2 πn \leq x \leq arccos (1) + 2 πn

- arccos (1)

بسّط:

0

- arccos (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - 0

= 0

arccos (1)

بسّط:

0

arccos (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

0 + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

بسّط

x \in R لا يوجد حلّ لـ

وحّد المقاطع

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn or x \in R لا يتحقّق لكلّ

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

أمثلة شائعة

tan(x)< pi/2

cos(x-1)>= 0

sin(θ)<0,sec(θ)>0

-pi/(12)sin^2(pi/(12)t)<0

12cos(2x)>0