English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

sin(x)+cos(2x)>1

الحلّ

sin (x) + cos (2 x) > 1

الحلّ

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

تدوين الفاصل الزمني

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn)

عشري

2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn

خطوات الحلّ

sin (x) + cos (2 x) > 1

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:استخدم المتطابقة التالية

1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) > 1

u = sin (x) :

على افتراض أنّ

1 - 2 u^{2} + u > 1

1 - 2 u^{2} + u > 1 : 0 < u < \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} + u > 1

Rewrite in standard form

1 - 2 u^{2} + u > 1

من الطرفين

1

اطرح

1 - 2 u^{2} + u - 1 > 1 - 1

بسّط

- 2 u^{2} + u > 0

- 2 u^{2} + u > 0

- 2 u^{2} + u

حلل إلى عوامل:

- u (2 u - 1)

- 2 u^{2} + u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= - 2 uu + u

- u

قم باخراج العامل المشترك

= - u (2 u - 1)

- u (2 u - 1) > 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

(- u (2 u - 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

بسّط

u (2 u - 1) < 0

ميّز المقاطع المختلفة

u (2 u - 1)

:جد إشارة كل واحد من عوامل

u

:جد إشارة

u = 0

u < 0

u > 0

2 u - 1

:جد إشارة

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

2 u = 1

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

بسّط

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

2 u < 1

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

بسّط

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

2 u > 1

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

بسّط

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

لخّص في جدول

u 2 u - 1 u (2 u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

< 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

0 < u < \frac{1}{2}

0 < u < \frac{1}{2}

0 < u < \frac{1}{2}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

0 < sin (x) < \frac{1}{2}

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

0 < sin (x) and sin (x) < \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

بدّل الأطراف

sin (x) > 0

For

sin (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

arcsin (0)

بسّط:

0

arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

π - arcsin (0)

بسّط:

π

π - arcsin (0)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

بسّط

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

For

sin (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

- \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

بسّط

- π - \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:حوّل الأعداد لكسور

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 6 - π}{6}

- 6 π - π = - 7 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- 7 π}{6}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

\frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

وحّد المقاطع

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

أمثلة شائعة

cos(x)>= 4

arctan(θ)<= (11pi)/9

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,xe[0,2pi]

4tan(x)>4,-pi/2 <θ< pi/2

tan(θ)>3cot(θ)