English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

sin^2(2x)>= 1/4

الحلّ

sin^{2} (2 x) \geq \frac{1}{4}

الحلّ

\frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn or - \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

تدوين الفاصل الزمني

[\frac{π}{12} + πn, \frac{5 π}{12} + πn] \cup [- \frac{5 π}{12} + πn, - \frac{π}{12} + πn]

عشري

0.26179 \dots + πn \leq x \leq 1.30899 \dots + πn or - 1.30899 \dots + πn \leq x \leq - 0.26179 \dots + πn

خطوات الحلّ

sin^{2} (2 x) \geq \frac{1}{4}

For

u^{n} \geq a

, if

n

is even then

u \leq - n a or u \geq n a

sin (2 x) \leq - \frac{1}{4} or sin (2 x) \geq \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

حلّل العدد لعوامله أوّليّة

= 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

1 = 1

فعّل القانون

= \frac{1}{2}

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2} or sin (2 x) \geq \frac{1}{2}

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2}

For

sin (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x and 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x : x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x

بدّل الأطراف

2 x \geq - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

بسّط:

- π + \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

- (- a) = a

فعّل القانون

= - π + \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{π}{6 \cdot 2}

6 \cdot 2 = 12 :

اضرب الأعداد

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12}

بسّط:

- \frac{5 π}{12}

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12}

2, 12

المضاعف المشترك الأصغر لـ:

12

2, 12

المضاعف المشترك الأصغر

2

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2

2

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

2

= 2

12

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2 \cdot 2 \cdot 3

12

12 = 6 \cdot 2, 2

ينقسم على

12

= 2 \cdot 6

6 = 3 \cdot 2, 2

ينقسم على

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

12

أو

2

احسب عدد مركّب من عوامل أوّليّة تظهر في

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 :

اضرب الأعداد

= 12

اكتب مجددًا الكسور بحيث يكون المقام مشترك

12

اضرب كل بسط ومقام بتعبير الذي يؤدّي إلى مقام مشترك

For

\frac{π}{2} :

multiply the denominator and numerator by

6

\frac{π}{2} = \frac{π 6}{2 \cdot 6} = \frac{π 6}{12}

= - \frac{π 6}{12} + \frac{π}{12}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 6 + π}{12}

- 6 π + π = - 5 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- 5 π}{12}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{5 π}{12}

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq - \frac{π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

بسّط:

- \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

- \frac{π}{12} + πn

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{π}{6 \cdot 2}

6 \cdot 2 = 12 :

اضرب الأعداد

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

وحّد المقاطع

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn and x \leq - \frac{π}{12} + πn

ادمج المجالات المتطابقة

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

sin (2 x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn

sin (2 x) \geq \frac{1}{2}

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x and 2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x : x \geq \frac{π}{12} + πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x

بدّل الأطراف

2 x \geq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

بسّط:

\frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 x}{2} \geq \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 x}{2} \geq \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

\frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{π}{6 \cdot 2}

6 \cdot 2 = 12 :

اضرب الأعداد

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x \geq \frac{π}{12} + πn

x \geq \frac{π}{12} + πn

x \geq \frac{π}{12} + πn

2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{5 π}{12} + πn

2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

بسّط:

π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 x}{2} \leq \frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 x}{2} \leq \frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

\frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

\frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

\frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{π}{6 \cdot 2}

6 \cdot 2 = 12 :

اضرب الأعداد

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= \frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

x \leq \frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

x \leq \frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

\frac{π}{2} - \frac{π}{12}

بسّط:

\frac{5 π}{12}

\frac{π}{2} - \frac{π}{12}

2, 12

المضاعف المشترك الأصغر لـ:

12

2, 12

المضاعف المشترك الأصغر

2

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2

2

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

2

= 2

12

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2 \cdot 2 \cdot 3

12

12 = 6 \cdot 2, 2

ينقسم على

12

= 2 \cdot 6

6 = 3 \cdot 2, 2

ينقسم على

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

12

أو

2

احسب عدد مركّب من عوامل أوّليّة تظهر في

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 :

اضرب الأعداد

= 12

اكتب مجددًا الكسور بحيث يكون المقام مشترك

12

اضرب كل بسط ومقام بتعبير الذي يؤدّي إلى مقام مشترك

For

\frac{π}{2} :

multiply the denominator and numerator by

6

\frac{π}{2} = \frac{π 6}{2 \cdot 6} = \frac{π 6}{12}

= \frac{π 6}{12} - \frac{π}{12}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{π 6 - π}{12}

6 π - π = 5 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{5 π}{12}

x \leq \frac{5 π}{12} + πn

x \leq \frac{5 π}{12} + πn

وحّد المقاطع

x \geq \frac{π}{12} + πn and x \leq \frac{5 π}{12} + πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn

وحّد المقاطع

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn or \frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn or - \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

أمثلة شائعة

-1/2 <= cos(2x)

- \frac{1}{2} \leq cos (2 x)

-2+3csc(2x-pi)>= 0

- 2 + 3 csc (2 x - π) \geq 0

cos(4x)> 1/2

cos (4 x) > \frac{1}{2}

tan(x)>=-(sqrt(3))/3 ,0<= x<= 2pi

tan (x) \geq - \frac{3}{3}, 0 \leq x \leq 2 π

sin(θ)<3

sin (θ) < 3