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Popular Trigonometría >

(2sin(x)-1)*(sqrt(3)tan(x)+1)>0

Solución

(2 sin (x) - 1) \cdot (3 tan (x) + 1) > 0

Solución

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

Decimal

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 5.75958 \dots + 2 πn

Pasos de solución

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1) > 0

Periodicidad de

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1) : 2 π

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sin (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

= 2 π

Expresar con seno, coseno

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1) > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1) > 0

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1) > 0

Simplificar

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1) : \frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1)

Multiplicar

3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )}

= (2 sin (x) - 1) (\frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} + 1)

Simplificar

\frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )} + 1

en una fracción:

\frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )} + 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )} + \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) 3 + 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} (2 sin (x) - 1)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( x ) 3 + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} > 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}, x = \frac{π}{6}

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(3 sin (x) + cos (x)) (2 sin (x) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

3 sin (x) + cos (x) = 0 or 2 sin (x) - 1 = 0

3 sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

3 sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

3 sin (x) + cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 tan (x) + 1 = 0

3 tan (x) + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

3 tan (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

3 tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

3 tan (x) = - 1

3 tan (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

3

3 tan (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplificar

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplificar

\frac{3 tan ( x )}{3} : tan (x)

\frac{3 tan ( x )}{3}

Eliminar los terminos comunes:

3

= tan (x)

Simplificar

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Racionalizar

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

Soluciones generales para

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Desplace

1

a la derecha

2 sin (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x) = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

Combinar toda las soluciones

x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}, x = \frac{π}{6}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

3 sin (x) + cos (x) 2 sin (x) - 1 cos (x) \frac{( 3 s i n ( x ) + c o s ( x ) ) ( 2 s i n ( x ) - 1 )}{c o s ( x )} x = 0 + - + - 0 < x < \frac{π}{6} + - + - x = \frac{π}{6} + 0 + 0 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} + + 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6} + + - - x = \frac{5 π}{6} 00 - 0 \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} - - - - x = \frac{3 π}{2} - - 0 Sin definir \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6} - - + + x = \frac{11 π}{6} 0 - + 0 \frac{11 π}{6} < x < 2 π + - + - x = 2 π + - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}

Utilizar la periodicidad de

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1)

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

(2cos(x)-1)(2cos(x)+sqrt(2))<0

2cos(3x-1/2)>= (sqrt(2))/2

2cos(x)+sqrt(2)<0

sin(2*x)>= 1

-5cos(x)>0