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Popular Trigonometria >

-cos(x)-4sin(2x)<0

Solução

- cos (x) - 4 sin (2 x) < 0

Solução

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 0.12532 \dots + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or - 0.12532 \dots + 2 π + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Notação de intervalo

[2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π + 0.12532 \dots + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (- 0.12532 \dots + 2 π + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Decimal

2 πn \leq x < 1.57079 \dots + 2 πn or 3.26692 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 6.15785 \dots + 2 πn < x \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Passos da solução

- cos (x) - 4 sin (2 x) < 0

Usar a seguinte identidade:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

- cos (x) - 4 \cdot 2 cos (x) sin (x) < 0

Simplificar

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x) < 0

Periodicidade de

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x) : 2 π

A periodicidade composta da soma das funções periódicas é o menor multiplicador comum dos períodos

cos (x), 8 cos (x) sin (x)

Periodicidade de

cos (x) : 2 π

Periodicidade da

cos (x)

2 π

= 2 π

Periodicidade de

8 cos (x) sin (x) : π

8 cos (x) sin (x)

é composta pelas seguintes funções e períodos:

cos (x)

com periodicidade de

2 π

A periodicidade composta é:

π

Juntar períodos:

2 π, π

= 2 π

Fatorar

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x) : - cos (x) (8 sin (x) + 1)

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x)

Fatorar o termo comum

- cos (x)

= - cos (x) (1 + 8 sin (x))

- cos (x) (8 sin (x) + 1) < 0

Para encontrar os zeros, defina a desigualdade como zero

- cos (x) (8 sin (x) + 1) = 0

Resolver

- cos (x) (8 sin (x) + 1) = 0

para

0 \leq x < 2 π

- cos (x) (8 sin (x) + 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

8 sin (x) + 1 = 0 : x = π + 0.12532 \dots or x = - 0.12532 \dots + 2 π

8 sin (x) + 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Mova

1

para o lado direito

8 sin (x) + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

8 sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

8 sin (x) = - 1

8 sin (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

8

8 sin (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

8

\frac{8 sin ( x )}{8} = \frac{- 1}{8}

Simplificar

sin (x) = - \frac{1}{8}

sin (x) = - \frac{1}{8}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{1}{8}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{1}{8}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{8}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{8}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{8}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{8}) + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < 2 π

x = π + arcsin (\frac{1}{8}), x = - arcsin (\frac{1}{8}) + 2 π

Mostrar soluções na forma decimal

x = π + 0.12532 \dots, x = - 0.12532 \dots + 2 π

Combinar toda as soluções

\frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots or \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π

Os tervalos entre os zeros

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π + 0.12532 \dots, π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < - 0.12532 \dots + 2 π, - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

Resumir em uma tabela:

cos (x) 8 sin (x) + 1 - cos (x) (8 sin (x) + 1) x = 0 + + - 0 < x < \frac{π}{2} + + - x = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < x < π + 0.12532 \dots - + + x = π + 0.12532 \dots - 00 π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} - - - x = \frac{3 π}{2} 0 - 0 \frac{3 π}{2} < x < - 0.12532 \dots + 2 π + - + x = - 0.12532 \dots + 2 π + 00 - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π + + - x = 2 π + + -

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

< 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π or x = 2 π

Junte intervalos que se sobrepoem

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π or x = 2 π

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

x = 0

0 < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq x < \frac{π}{2}

π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}

- 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

x = 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x \leq 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x \leq 2 π

Utilizar a periodicidade de

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x)

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 0.12532 \dots + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or - 0.12532 \dots + 2 π + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Exemplos populares

50sin(-pi/2 x-pi/2)>=-15

50 sin (- \frac{π}{2} x - \frac{π}{2}) \geq - 15

sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)>= 0

sin (x) cos (y) - cos (x) sin (y) \geq 0

cos(θ)>0,tan(θ)>0

cos (θ) > 0, tan (θ) > 0

sqrt(3)cot(x)<-1

3 cot (x) < - 1

10<5sin(pi/6 (x-10))+6

10 < 5 sin (\frac{π}{6} (x - 10)) + 6