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受欢迎的三角函数 >

cos(2x)<cos(4x)

解答

cos (2 x) < cos (4 x)

解答

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

+2

间隔符号

(\frac{π}{3} + πn, \frac{2 π}{3} + πn)

十进制

1.04719 \dots + πn < x < 2.09439 \dots + πn

求解步骤

cos (2 x) < cos (4 x)

将

cos (4 x)

para o lado esquerdo

cos (2 x) < cos (4 x)

两边减去

cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < cos (4 x) - cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

令

: u = 2 x

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (u) - cos (2 u) < 0 : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) - cos (2 u) < 0

利用以下特性:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (u)) + cos (u) < 0

化简

1 - 2 cos^{2} (u) + cos (u) < 0

令

: v = cos (u)

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v < 0 : v < - \frac{1}{2} or v > 1

1 - 2 v^{2} + v < 0

分解

1 - 2 v^{2} + v : - (2 v + 1) (v - 1)

1 - 2 v^{2} + v

因式分解出通项

- 1

= - (2 v^{2} - v - 1)

分解

2 v^{2} - v - 1 : (2 v + 1) (v - 1)

2 v^{2} - v - 1

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c

= 2 v^{2} - v - 1

将表达式拆分成组

2 v^{2} - v - 1

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = - 2

，检验是否

u + v = - 1

检验

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

真检验

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

假

u = 1, v = - 2

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

= (2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

从

2 v^{2} + v

分解出因式

v

:

v (2 v + 1)

2 v^{2} + v

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 2 vv + v

因式分解出通项

v

= v (2 v + 1)

从

- 2 v - 1

分解出因式

- 1

:

- (2 v + 1)

- 2 v - 1

因式分解出通项

- 1

= - (2 v + 1)

= v (2 v + 1) - (2 v + 1)

因式分解出通项

2 v + 1

= (2 v + 1) (v - 1)

= - (2 v + 1) (v - 1)

- (2 v + 1) (v - 1) < 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- (2 v + 1) (v - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

化简

(2 v + 1) (v - 1) > 0

确定区间

确定

(2 v + 1) (v - 1)

符号

确定

2 v + 1

符号

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

将

1

到右边

2 v + 1 = 0

两边减去

1

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

化简

2 v = - 1

2 v = - 1

两边除以

2

2 v = - 1

两边除以

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

化简

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

将

1

到右边

2 v + 1 < 0

两边减去

1

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

化简

2 v < - 1

2 v < - 1

两边除以

2

2 v < - 1

两边除以

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

化简

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

将

1

到右边

2 v + 1 > 0

两边减去

1

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

化简

2 v > - 1

2 v > - 1

两边除以

2

2 v > - 1

两边除以

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

化简

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

确定

v - 1

符号

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

将

1

到右边

v - 1 = 0

两边加上

1

v - 1 + 1 = 0 + 1

化简

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

将

1

到右边

v - 1 < 0

两边加上

1

v - 1 + 1 < 0 + 1

化简

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

将

1

到右边

v - 1 > 0

两边加上

1

v - 1 + 1 > 0 + 1

化简

v > 1

v > 1

总结如下表：

2 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (v - 1) v < - \frac{1}{2} - - + v = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < v < 1 + - - v = 1 + 00 v > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

> 0

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v = cos (u)

代回

cos (u) < - \frac{1}{2} or cos (u) > 1

cos (u) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) < - \frac{1}{2}

对于

cos (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < u < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

化简

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

化简

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

化简

2 π - \frac{2 π}{3}

将项转换为分式:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

同类项相加:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) > 1 :

对所有

u \in R

为假

cos (u) > 1

cos (u)

的值域:

- 1 \leq cos (u) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (u) \leq 1

- 1 \leq cos (u) \leq 1

cos (u) > 1 and - 1 \leq cos (u) \leq 1 :

假

令

y = cos (u)

合并区间

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y > 1

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

u \in R 无解

对所有 u \in R 为假

合并区间

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn or 对所有 u \in R 为假

合并重叠的区间

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 x = u

代回

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x and 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x : x > \frac{π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x

交换两边

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

两边除以

2

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

两边除以

2

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

化简

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

化简

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= x

化简

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

数字相乘:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

约分:

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : x < \frac{2 π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

两边除以

2

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

两边除以

2

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

化简

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

化简

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= x

化简

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

数字相乘:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

约分:

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

合并区间

x > \frac{π}{3} + πn and x < \frac{2 π}{3} + πn

合并重叠的区间

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

流行的例子

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

(arctan (x)) > 0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

tan (θ) < 0, sin (θ) > 0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

8 sin^{3} (t) < 0