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Popular Trigonometría >

cos(2x)<cos(4x)

Solución

cos (2 x) < cos (4 x)

Solución

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{3} + πn, \frac{2 π}{3} + πn)

Decimal

1.04719 \dots + πn < x < 2.09439 \dots + πn

Pasos de solución

cos (2 x) < cos (4 x)

Desplace

cos (4 x)

a la izquierda

cos (2 x) < cos (4 x)

Restar

cos (4 x)

de ambos lados

cos (2 x) - cos (4 x) < cos (4 x) - cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

Sea:

u = 2 x

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (u) - cos (2 u) < 0 : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) - cos (2 u) < 0

Usar la siguiente identidad:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (u)) + cos (u) < 0

Simplificar

1 - 2 cos^{2} (u) + cos (u) < 0

Sea:

v = cos (u)

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v < 0 : v < - \frac{1}{2} or v > 1

1 - 2 v^{2} + v < 0

Factorizar

1 - 2 v^{2} + v : - (2 v + 1) (v - 1)

1 - 2 v^{2} + v

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 v^{2} - v - 1)

Factorizar

2 v^{2} - v - 1 : (2 v + 1) (v - 1)

2 v^{2} - v - 1

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

= 2 v^{2} - v - 1

Factorizar la expresión

2 v^{2} - v - 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = - 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VerdaderoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

= (2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

Factorizar

v

2 v^{2} + v

v (2 v + 1)

2 v^{2} + v

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 2 vv + v

Factorizar el termino común

v

= v (2 v + 1)

Factorizar

- 1

- 2 v - 1

- (2 v + 1)

- 2 v - 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 v + 1)

= v (2 v + 1) - (2 v + 1)

Factorizar el termino común

2 v + 1

= (2 v + 1) (v - 1)

= - (2 v + 1) (v - 1)

- (2 v + 1) (v - 1) < 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

(- (2 v + 1) (v - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(2 v + 1) (v - 1) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 v + 1) (v - 1)

Encontrar los signos de

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 v + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 v = - 1

2 v = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 v + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 v < - 1

2 v < - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v < - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 v + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 v > - 1

2 v > - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v > - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

v - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

v - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

v - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

v > 1

v > 1

Resumir en una tabla:

2 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (v - 1) v < - \frac{1}{2} - - + v = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < v < 1 + - - v = 1 + 00 v > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

Sustituir en la ecuación

v = cos (u)

cos (u) < - \frac{1}{2} or cos (u) > 1

cos (u) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) < - \frac{1}{2}

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < u < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Simplificar

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

Simplificar

2 π - \frac{2 π}{3}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Sumar elementos similares:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) > 1 :

Falso para todo

u \in R

cos (u) > 1

Rango de

cos (u) : - 1 \leq cos (u) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (u) \leq 1

- 1 \leq cos (u) \leq 1

cos (u) > 1 and - 1 \leq cos (u) \leq 1 :

Falso

Sea

y

cos (u)

Combinar los rangos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para u \in R

Falso para todo u \in R

Combinar los rangos

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn or Falso para todo u \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Sustituir en la ecuación

2 x = u

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

a < u < b

entonces

a < u and u < b

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x and 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x : x > \frac{π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x

Intercambiar lados

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : x < \frac{2 π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

Combinar los rangos

x > \frac{π}{3} + πn and x < \frac{2 π}{3} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

Ejemplos populares

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

(arctan(x))>0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

8sin^3(t)<0