English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)< 1/2

الحلّ

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

الحلّ

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

تدوين الفاصل الزمني

(\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n)

عشري

0.52359 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.87266 \dots + \frac{π}{3} n

خطوات الحلّ

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

u = 3 x :

على افتراض أنّ

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2} : \frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

:استخدم المتطابقة التالية

2 (cos (u))^{2} + 3 \cdot 2 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

بسّط

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

دوريّة:

π

The compound periodicity of the sum of periodic functions is the least common multiplier of the periods

2 cos^{2} (u), 23 cos (u) sin (u)

2 cos^{2} (u)

دوريّة:

π

زوجيّ

n

مقسمومة على إثنان، إذا تحقّق أنّ

cos (x)

هي دوريّة

cos^{n} (x)

دوريّة

cos (u)

دوريّة:

2 π

2 π

هي

cos (x)

دوريّة

= 2 π

\frac{2 π}{2}

بسّط

π

23 cos (u) sin (u)

دوريّة:

π

:

مركّبة من الدوالّ والدوريّات التالية

23 cos (u) sin (u)

2 π

مع دوريّات

cos (u)

:

الدوريّة المركّبة للدالّة هي

π

Combine periods:

π, π

= π

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

حلّل إلى عوامل:

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

cos^{2} (u) = cos (u) cos (u)

= 2 cos (u) cos (u) + 23 cos (u) sin (u)

2 cos (u)

قم باخراج العامل المشترك

= 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) < \frac{1}{2}

To find the zeroes, set the inequality to zero

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

0 \leq u < π

في

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

حلّ

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

حلّ كل جزء على حدة

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

cos (u) = 0 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

0 \leq u < π :

حلول للمدى

u = \frac{π}{2}

cos (u) + 3 sin (u) = 0 : u = \frac{5 π}{6}

cos (u) + 3 sin (u) = 0, 0 \leq u < π

Rewrite using trig identities

cos (u) + 3 sin (u) = 0

cos (u) \neq = 0, cos (u)

اقسم الطرفين على

\frac{cos ( u ) + 3 sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

بسّط

1 + \frac{3 sin ( u )}{cos ( u )} = 0

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

:Use the basic trigonometric identity

1 + 3 tan (u) = 0

1 + 3 tan (u) = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

1 + 3 tan (u) = 0

من الطرفين

1

اطرح

1 + 3 tan (u) - 1 = 0 - 1

بسّط

3 tan (u) = - 1

3 tan (u) = - 1

3

اقسم الطرفين على

3 tan (u) = - 1

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

بسّط

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

\frac{3 tan ( u )}{3}

بسّط:

tan (u)

\frac{3 tan ( u )}{3}

3 :

إلغ العوامل المشتركة

= tan (u)

\frac{- 1}{3}

بسّط:

- \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

حوّل لصيغة عدد كسريّ:

- \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

اضرب بالمرافق

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

a a = a

:فعْل قانون الجذور

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3} :

حلول عامّة لـ

tan (x)

periodicity table with

πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

0 \leq u < π :

حلول للمدى

u = \frac{5 π}{6}

وحّد الحلول

\frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

The intervals between the zeros

0 < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

لخّص في جدول

cos (u) cos (u) + 3 sin (u) 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{2} + + + u = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} - + - u = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

< 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

\frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) :

استخدم دوريّة الـ

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

3 x = u

استبدل مجددًا

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn : \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

\frac{π}{2} + πn < 3 x and 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x : x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{2} + πn < 3 x

بدّل الأطراف

3 x > \frac{π}{2} + πn

3

اقسم الطرفين على

3 x > \frac{π}{2} + πn

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

بسّط

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{3 x}{3}

بسّط:

x

\frac{3 x}{3}

\frac{3}{3} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

بسّط:

\frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{π}{2 \cdot 3}

2 \cdot 3 = 6 :

اضرب الأعداد

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn : x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

3

اقسم الطرفين على

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

بسّط

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{3 x}{3}

بسّط:

x

\frac{3 x}{3}

\frac{3}{3} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

بسّط:

\frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} = \frac{5 π}{18}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{5 π}{6 \cdot 3}

6 \cdot 3 = 18 :

اضرب الأعداد

= \frac{5 π}{18}

= \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

وحّد المقاطع

x > \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n and x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

أمثلة شائعة

sin(3x)<= 1/3

tan(t)<-1/(sqrt(3))

sin(x)>= 1/2 ,0<= x<= 2pi

2cos(x)+2>= 2

(2*cos(x)-3)/(sin(x))>= 0