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Popular Trigonometría >

cos(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

Solución

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Solución

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Notación de intervalos

[arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup [\frac{2 π}{3} + 2 πn, π + 2 πn]

Decimal

0.90455 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.14159 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

cos (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

cos (x) \leq sin^{2} (x) : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Desplace

sin^{2} (x)

a la izquierda

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Restar

sin^{2} (x)

de ambos lados

cos (x) - sin^{2} (x) \leq sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

cos (x) - (1 - cos^{2} (x)) \leq 0

Simplificar

cos (x) - 1 + cos^{2} (x) \leq 0

Sea:

u = cos (x)

u - 1 + u^{2} \leq 0

u - 1 + u^{2} \leq 0 : \frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

u - 1 + u^{2} \leq 0

Completar el cuadrado

u - 1 + u^{2} : (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

u - 1 + u^{2}

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

u^{2} + u - 1

Escribir

u^{2} + u - 1

en la forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

2 a = 1 : a = \frac{1}{2}

2 a = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 a = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

a = \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}

Sumar y restar (de izquierda a derecha)

(\frac{1}{2})^{2}

u^{2} + u - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} + 1 u + (\frac{1}{2})^{2} = (u + \frac{1}{2})^{2}

(u + \frac{1}{2})^{2} - 1 - (\frac{1}{2})^{2}

Simplificar

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Desplace

\frac{5}{4}

a la derecha

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Sumar

\frac{5}{4}

a ambos lados

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \leq 0 + \frac{5}{4}

Simplificar

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

Para

u^{n} \leq a

, si

n

es par entonces

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} and u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} : u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2}

Intercambiar lados

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{4}

Simplificar

\frac{5}{4} : \frac{5}{2}

\frac{5}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{5}{2}

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Desplace

\frac{1}{2}

a la derecha

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Restar

\frac{1}{2}

de ambos lados

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplificar

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplificar

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Sumar elementos similares:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq 0

= u

Simplificar

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4} : u \leq \frac{5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Desplace

\frac{1}{2}

a la derecha

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Restar

\frac{1}{2}

de ambos lados

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplificar

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Simplificar

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Sumar elementos similares:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq 0

= u

Simplificar

\frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

Combinar los rangos

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) :

Verdadero para todo

x \in R

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2}

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2} : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

Para

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Combinar los rangos

Verdadero para todo x \in R and arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Sea:

u = sin (x)

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Reescribir en la forma estándar

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Restar

\frac{3}{2} u

de ambos lados

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

Simplificar

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

Multiplicar ambos lados por

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

Factorizar

2 u^{2} - 3 u : u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

Factorizar el termino común

u

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

u (2 u - 3)

Encontrar los signos de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontrar los signos de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 < 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

2 u < 3

2 u < 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplificar

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 > 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

2 u > 3

2 u > 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplificar

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Resumir en una tabla:

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = 0

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq u < \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) \geq 0

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplificar

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Simplificar

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Para

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

Simplificar

- π - \frac{π}{3}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Sumar elementos similares:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Simplificar

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Combinar los rangos

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

Mezclar intervalos sobrepuestos

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x)= 1/(sqrt(5))\land cos(x)<0

cot(θ)<0\land sec(θ)>0

6sin(x)0<= x<= (3pi)/2

-1<=-cos(2x)<= 1

0<= 2sin(3x)+1<2pi