English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cos(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

Решение

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Решение

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Обозначение интервала

[arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup [\frac{2 π}{3} + 2 πn, π + 2 πn]

десятичными цифрами

0.90455 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.14159 \dots + 2 πn

Шаги решения

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Если

a \leq u \leq b,

то

a \leq u and u \leq b

cos (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

cos (x) \leq sin^{2} (x) : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Переместите

sin^{2} (x)

влево

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Вычтите

sin^{2} (x)

с обеих сторон

cos (x) - sin^{2} (x) \leq sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

Используйте следующую тождественность:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Поэтому

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

cos (x) - (1 - cos^{2} (x)) \leq 0

После упрощения получаем

cos (x) - 1 + cos^{2} (x) \leq 0

Допустим:

u = cos (x)

u - 1 + u^{2} \leq 0

u - 1 + u^{2} \leq 0 : \frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

u - 1 + u^{2} \leq 0

Заполните квадрат

u - 1 + u^{2} : (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

u - 1 + u^{2}

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c

u^{2} + u - 1

Запишите

u^{2} + u - 1

в виде:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

2 a = 1 : a = \frac{1}{2}

2 a = 1

Разделите обе стороны на

2

2 a = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

a = \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}

Добавьте и вычтите

(\frac{1}{2})^{2}

u^{2} + u - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} + 1 u + (\frac{1}{2})^{2} = (u + \frac{1}{2})^{2}

(u + \frac{1}{2})^{2} - 1 - (\frac{1}{2})^{2}

После упрощения получаем

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Переместите

\frac{5}{4}

вправо

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Добавьте

\frac{5}{4}

к обеим сторонам

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \leq 0 + \frac{5}{4}

После упрощения получаем

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

Для

u^{n} \leq a

, если

n

четно, то

- n a \leq u \leq n a

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

Если

a \leq u \leq b,

то

a \leq u and u \leq b

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} and u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} : u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2}

Поменяйте стороны

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{4}

Упростить

\frac{5}{4} : \frac{5}{2}

\frac{5}{4}

Применить радикальное правило:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5}{4}

4 = 2

4

Разложите число:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{5}{2}

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Переместите

\frac{1}{2}

вправо

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Вычтите

\frac{1}{2}

с обеих сторон

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Упростите

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Добавьте похожие элементы:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq 0

= u

Упростите

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Примените правило

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4} : u \leq \frac{5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

Применить радикальное правило:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

4 = 2

4

Разложите число:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Переместите

\frac{1}{2}

вправо

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Вычтите

\frac{1}{2}

с обеих сторон

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Упростите

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Добавьте похожие элементы:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq 0

= u

Упростите

\frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Примените правило

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

Объедините интервалы

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

Если

a \leq u \leq b,

то

a \leq u and u \leq b

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) :

Верно для всех

x \in R

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x)

Поменяйте стороны

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2}

Диапазон

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Определение диапазона функций

Диапазон базовой функции

cos

равен

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Пусть

y = cos (x)

Объедините интервалы

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах

y \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Верно для всех x

Верно для всех x \in R

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2} : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

Для

cos (x) \leq a

, если

- 1 < a < 1

, то

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Объедините интервалы

Верно для всех x \in R and arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Допустим:

u = sin (x)

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Перепишите в стандартной форме

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Вычтите

\frac{3}{2} u

с обеих сторон

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

После упрощения получаем

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

Умножьте обе части на

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

коэффициент

2 u^{2} - 3 u : u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

Убрать общее значение

u

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

Перемножьте числа:

1 \cdot 2 = 2

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

u (2 u - 3)

Найдите признаки

u

u = 0

u < 0

u > 0

Найдите признаки

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Переместите

3

вправо

2 u - 3 = 0

Добавьте

3

к обеим сторонам

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

После упрощения получаем

2 u = 3

2 u = 3

Разделите обе стороны на

2

2 u = 3

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

После упрощения получаем

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Переместите

3

вправо

2 u - 3 < 0

Добавьте

3

к обеим сторонам

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

После упрощения получаем

2 u < 3

2 u < 3

Разделите обе стороны на

2

2 u < 3

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

После упрощения получаем

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Переместите

3

вправо

2 u - 3 > 0

Добавьте

3

к обеим сторонам

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

После упрощения получаем

2 u > 3

2 u > 3

Разделите обе стороны на

2

2 u > 3

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

После упрощения получаем

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Свести в таблицу:

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u = 0

либо

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

0 \leq u < \frac{3}{2}

либо

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

Делаем обратную замену

u = sin (x)

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

Если

a \leq u \leq b,

то

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

Поменяйте стороны

sin (x) \geq 0

Для

sin (x) \geq a

, если

- 1 < a < 1

, то

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

Упростите

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Упростите

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

После упрощения получаем

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Для

sin (x) \leq a

, если

- 1 < a < 1

, то

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Упростите

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

После упрощения получаем

- π - \frac{π}{3}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Добавьте похожие элементы:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Упростите

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Объедините интервалы

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Объедините интервалы

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

cos(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

Решение

Решение

Популярные примеры