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Beliebt Trigonometrie >

3sin(x)-4cos(x)=-2

Lösung

3 sin (x) - 4 cos (x) = - 2

Lösung

x = - 1.80278 \dots + 2 πn, x = 0.51577 \dots + 2 πn

Grad

x = - 103.29171 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 29.55192 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) - 4 cos (x) = - 2

Füge

4 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

3 sin (x) = - 2 + 4 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (x))^{2} = (- 2 + 4 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(- 2 + 4 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (x) - 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

- 4 + 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 4 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 4 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 9 = 5

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

= 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 5

5 + 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

5 + 16 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

5 + 16 u - 25 u^{2} = 0

5 + 16 u - 25 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, u = \frac{8 + 3 21}{25}

5 + 16 u - 25 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 16 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 25 u^{2} + 16 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 25, b = 16, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- 16 \pm 1 6 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 5}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 16 \pm 1 6 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 5}{2 ( - 25 )}

1 6^{2} - 4 (- 25) \cdot 5 = 621

1 6^{2} - 4 (- 25) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 6^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 25 \cdot 5 = 500

= 1 6^{2} + 500

1 6^{2} = 256

= 256 + 500

Addiere die Zahlen:

256 + 500 = 756

= 756

Primfaktorzerlegung von

756 : 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7

756

756

ist durch

2756 = 378 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 378

378

ist durch

2378 = 189 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 189

189

ist durch

3189 = 63 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 63

63

ist durch

363 = 21 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7

= 3^{3} \cdot 2^{2} \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 621

u_{1, 2} = \frac{- 16 \pm 6 21}{2 ( - 25 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 16 + 6 21}{2 ( - 25 )}, u_{2} = \frac{- 16 - 6 21}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 16 + 6 21}{2 ( - 25 )} : - \frac{- 8 + 3 21}{25}

\frac{- 16 + 6 21}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 16 + 6 21}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 16 + 6 21}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 16 + 6 21}{50}

Streiche

\frac{- 16 + 6 21}{50} : \frac{3 21 - 8}{25}

\frac{- 16 + 6 21}{50}

Faktorisiere

- 16 + 621 : 2 (- 8 + 321)

- 16 + 621

Schreibe um

= - 2 \cdot 8 + 2 \cdot 321

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 8 + 321)

= \frac{2 ( - 8 + 3 21 )}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 8 + 3 21}{25}

= - \frac{3 21 - 8}{25}

= - \frac{- 8 + 3 21}{25}

u = \frac{- 16 - 6 21}{2 ( - 25 )} : \frac{8 + 3 21}{25}

\frac{- 16 - 6 21}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 16 - 6 21}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 16 - 6 21}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 16 - 621 = - (16 + 621)

= \frac{16 + 6 21}{50}

Faktorisiere

16 + 621 : 2 (8 + 321)

16 + 621

Schreibe um

= 2 \cdot 8 + 2 \cdot 321

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (8 + 321)

= \frac{2 ( 8 + 3 21 )}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{8 + 3 21}{25}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, u = \frac{8 + 3 21}{25}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}, cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25} : x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 8 + 3 21}{25}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25} : x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{8 + 3 21}{25}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (x) - 4 cos (x) = - 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) - 4 cos (x) = - 2

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = - 2

Fasse zusammen

3.83927 \dots = - 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) - 4 cos (x) = - 2

ein, um zu lösen

3 sin (- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) - 4 cos (- arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = - 2

Fasse zusammen

- 2 = - 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) - 4 cos (x) = - 2

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = - 2

Fasse zusammen

- 2 = - 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1

3 sin (x) - 4 cos (x) = - 2

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) - 4 cos (2 π - arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 π 1) = - 2

Fasse zusammen

- 4.95927 \dots = - 2

\Rightarrow Falsch

x = - arccos (- \frac{- 8 + 3 21}{25}) + 2 πn, x = arccos (\frac{8 + 3 21}{25}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 1.80278 \dots + 2 πn, x = 0.51577 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(2)cos(x)-sqrt(2)sin(x)=2