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Beliebt Trigonometrie >

5sin(θ)-5cos(θ)=2

Lösung

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

Lösung

θ = - 2.64295 \dots + 2 πn, θ = 1.07215 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 151.42994 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 61.42994 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

Füge

5 cos (θ)

zu beiden Seiten hinzu

5 sin (θ) = 2 + 5 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(5 sin (θ))^{2} = (2 + 5 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(2 + 5 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

25 sin^{2} (θ) - 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ)) : - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

25 (1 - cos^{2} (θ)) : 25 - 25 cos^{2} (θ)

25 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (θ)

= - 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ) : - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) - 25 cos^{2} (θ) - 4 + 25

Addiere gleiche Elemente:

- 25 cos^{2} (θ) - 25 cos^{2} (θ) = - 50 cos^{2} (θ)

= - 20 cos (θ) - 50 cos^{2} (θ) - 4 + 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 25 = 21

= - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

= - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

= - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

21 - 20 cos (θ) - 50 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

21 - 20 cos (θ) - 50 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 + 46}{10}, u = \frac{46 - 2}{10}

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 50 u^{2} - 20 u + 21 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 50 u^{2} - 20 u + 21 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 50, b = - 20, c = 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 21}{2 ( - 50 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 21}{2 ( - 50 )}

(- 20)^{2} - 4 (- 50) \cdot 21 = 1046

(- 20)^{2} - 4 (- 50) \cdot 21

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 20)^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 21

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 20)^{2} = 2 0^{2}

= 2 0^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 21

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 50 \cdot 21 = 4200

= 2 0^{2} + 4200

2 0^{2} = 400

= 400 + 4200

Addiere die Zahlen:

400 + 4200 = 4600

= 4600

Primfaktorzerlegung von

4600 : 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

4600

4600

ist durch

24600 = 2300 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2300

2300

ist durch

22300 = 1150 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 1150

1150

ist durch

21150 = 575 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 575

575

ist durch

5575 = 115 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 115

115

ist durch

5115 = 23 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23

2, 5, 23

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23

= 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

= 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2 \cdot 23

Wende Radikal Regel an:

= 2^{2} 5^{2} 2 \cdot 23

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 2 5^{2} 2 \cdot 23

Wende Radikal Regel an:

5^{2} = 5

= 2 \cdot 5 2 \cdot 23

Fasse zusammen

= 1046

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm 10 46}{2 ( - 50 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )}, u_{2} = \frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )}

u = \frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )} : - \frac{2 + 46}{10}

\frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 + 10 46}{- 2 \cdot 50}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{20 + 10 46}{- 100}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20 + 10 46}{100}

Streiche

\frac{20 + 10 46}{100} : \frac{2 + 46}{10}

\frac{20 + 10 46}{100}

Faktorisiere

20 + 1046 : 10 (2 + 46)

20 + 1046

Schreibe um

= 10 \cdot 2 + 1046

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (2 + 46)

= \frac{10 ( 2 + 46 )}{100}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{2 + 46}{10}

= - \frac{2 + 46}{10}

u = \frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )} : \frac{46 - 2}{10}

\frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 - 10 46}{- 2 \cdot 50}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{20 - 10 46}{- 100}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

20 - 1046 = - (1046 - 20)

= \frac{10 46 - 20}{100}

Faktorisiere

1046 - 20 : 10 (46 - 2)

1046 - 20

Schreibe um

= 1046 - 10 \cdot 2

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (46 - 2)

= \frac{10 ( 46 - 2 )}{100}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{46 - 2}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 + 46}{10}, u = \frac{46 - 2}{10}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}, cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}, cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10} : θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10} : θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

ein, um zu lösen

5 sin (arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

6.78232 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

ein, um zu lösen

5 sin (- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

ein, um zu lösen

5 sin (arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

ein, um zu lösen

5 sin (2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 6.78232 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 2.64295 \dots + 2 πn, θ = 1.07215 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos(t)=sqrt(3)

5sin(x)=sin(x)

sin(3x)=3sin(x)

arcsin(x)+arcsin(2x)= pi/3

tan(2x)= 4/3