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Popular Trigonometria >

csc(x)cot(x)=2sqrt(3)

Solução

csc (x) cot (x) = 23

Solução

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graus

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

csc (x) cot (x) = 23

Subtrair

23

de ambos os lados

csc (x) cot (x) - 23 = 0

Expresar com seno, cosseno

- 23 + cot (x) csc (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - 23 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} csc (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 23 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Simplificar

- 23 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- 2 3 sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

- 23 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( x ) \cdot 1}{sin ( x ) sin ( x )}

Multiplicar:

cos (x) \cdot 1 = cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - 23 + \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Converter para fração:

23 = \frac{2 \cdot 3 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{2 3 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 3 sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 2 3 sin ^{2} ( x ) + cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x ) 3}{sin ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - 2 sin^{2} (x) 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (x) - 2 sin^{2} (x) 3

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) 3

cos (x) - (1 - cos^{2} (x)) \cdot 23 = 0

Usando o método de substituição

cos (x) - (1 - cos^{2} (x)) \cdot 23 = 0

Sea:

cos (x) = u

u - (1 - u^{2}) \cdot 23 = 0

u - (1 - u^{2}) \cdot 23 = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{2 3}{3}

u - (1 - u^{2}) \cdot 23 = 0

Expandir

u - (1 - u^{2}) \cdot 23 : u - 23 + 23 u^{2}

u - (1 - u^{2}) \cdot 23

= u - 23 (1 - u^{2})

Expandir

- 23 (1 - u^{2}) : - 23 + 23 u^{2}

- 23 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 23, b = 1, c = u^{2}

= - 23 \cdot 1 - (- 23) u^{2}

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 \cdot 3 + 23 u^{2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= - 23 + 23 u^{2}

= u - 23 + 23 u^{2}

u - 23 + 23 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

23 u^{2} + u - 23 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

23 u^{2} + u - 23 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 23, b = 1, c = - 23

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 3 ( - 2 3 )}{2 \cdot 2 3}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 3 ( - 2 3 )}{2 \cdot 2 3}

1^{2} - 4 \cdot 23 (- 23) = 7

1^{2} - 4 \cdot 23 (- 23)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 23 (- 23)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 23 \cdot 23

4 \cdot 23 \cdot 23 = 48

4 \cdot 23 \cdot 23

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 1633

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

33 = 3

= 16 \cdot 3

Multiplicar os números:

16 \cdot 3 = 48

= 48

= 1 + 48

Somar:

1 + 48 = 49

= 49

Fatorar o número:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 7}{2 \cdot 2 3}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 7}{2 \cdot 2 3}, u_{2} = \frac{- 1 - 7}{2 \cdot 2 3}

u = \frac{- 1 + 7}{2 \cdot 2 3} : \frac{3}{2}

\frac{- 1 + 7}{2 \cdot 2 3}

Somar/subtrair:

- 1 + 7 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 2 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6}{4 3}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3}{2 3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3}{2 \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{3 ^{1}}{3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{1 - \frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}{2}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{3}{2}

u = \frac{- 1 - 7}{2 \cdot 2 3} : - \frac{2 3}{3}

\frac{- 1 - 7}{2 \cdot 2 3}

Subtrair:

- 1 - 7 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 2 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{4 3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4 3}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= - \frac{2}{3}

Racionalizar

- \frac{2}{3} : - \frac{2 3}{3}

- \frac{2}{3}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{3}{3}

= - \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{2 3}{3}

= - \frac{2 3}{3}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{2 3}{3}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{2 3}{3}

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{2 3}{3}

cos (x) = \frac{3}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 3}{3} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{2 3}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos^2(θ)+2sin(θ)+1=0

arcsec(x)=arcsec(2)

tan^2(x)+(sqrt(3)-1)tan(x)-sqrt(3)=0

2sec(x)-5=0

cos(x)=0.84