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受欢迎的三角函数 >

3sin(θ)+4cos(θ)=3

解答

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

解答

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.28379 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 343.73979 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

两边减去

4 cos (θ)

3 sin (θ) = 3 - 4 cos (θ)

两边进行平方

(3 sin (θ))^{2} = (3 - 4 cos (θ))^{2}

两边减去

(3 - 4 cos (θ))^{2}

9 sin^{2} (θ) - 9 + 24 cos (θ) - 16 cos^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

化简

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ)) : 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

乘开

9 (1 - cos^{2} (θ)) : 9 - 9 cos^{2} (θ)

9 (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (θ)

数字相乘:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (θ)

= - 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

化简

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ) : 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

- 9 - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= - 16 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) - 9 + 9

同类项相加:

- 16 cos^{2} (θ) - 9 cos^{2} (θ) = - 25 cos^{2} (θ)

= - 25 cos^{2} (θ) + 24 cos (θ) - 9 + 9

- 9 + 9 = 0

= 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

= 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

= 24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ)

24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) = 0

用替代法求解

24 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

24 u - 25 u^{2} = 0

24 u - 25 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{24}{25}

24 u - 25 u^{2} = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 24 u = 0

使用求根公式求解

- 25 u^{2} + 24 u = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 25, b = 24, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 0}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 0}{2 ( - 25 )}

2 4^{2} - 4 (- 25) \cdot 0 = 24

2 4^{2} - 4 (- 25) \cdot 0

使用法则

- (- a) = a

= 2 4^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 0

使用法则

0 \cdot a = 0

= 2 4^{2} + 0

2 4^{2} + 0 = 2 4^{2}

= 2 4^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a,

假定

a \geq 0

= 24

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 24}{2 ( - 25 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )}, u_{2} = \frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )} : 0

\frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 24 + 24}{- 2 \cdot 25}

数字相加/相减:

- 24 + 24 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 25}

数字相乘:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{0}{- 50}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{50}

使用法则

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )} : \frac{24}{25}

\frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 24 - 24}{- 2 \cdot 25}

数字相减:

- 24 - 24 = - 48

= \frac{- 48}{- 2 \cdot 25}

数字相乘:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 48}{- 50}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{48}{50}

约分:

2

= \frac{24}{25}

二次方程组的解是:

u = 0, u = \frac{24}{25}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{24}{25}

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{24}{25}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = \frac{24}{25} : θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{24}{25}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{24}{25}

cos (θ) = \frac{24}{25}

的通解

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

合并所有解

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

将解代入原方程进行验证

将它们代入

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

检验

\frac{π}{2} + 2 πn

的解:

真

\frac{π}{2} + 2 πn

代入

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

对于

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

代入

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

3 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 4 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3

整理后得

3 = 3

\Rightarrow 真

检验

\frac{3 π}{2} + 2 πn

的解:

假

\frac{3 π}{2} + 2 πn

代入

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

对于

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

代入

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

3 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 4 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 3

整理后得

- 3 = 3

\Rightarrow 假

检验

arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

的解:

假

arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

代入

n = 1

arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

对于

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

代入

θ = arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) = 3

整理后得

4.68 = 3

\Rightarrow 假

检验

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

的解:

真

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

代入

n = 1

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

对于

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

代入

θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) + 4 cos (2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) = 3

整理后得

3 = 3

\Rightarrow 真

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.28379 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

cos(x)=(-5)/(13)

cos (x) = \frac{- 5}{13}

1 = 3 cos (2 θ)

4sin(x)=4sin(2x)

4 sin (x) = 4 sin (2 x)

csc(x)-sin(x)=cos(x)cot(3x-50)

csc (x) - sin (x) = cos (x) cot (3 x - 50)

sin^2(x)=1-cos(2x)

sin^{2} (x) = 1 - cos (2 x)