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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(x)+cos(2x)-7cos(x)=-2

Lösung

4 cos^{2} (x) + cos (2 x) - 7 cos (x) = - 2

Lösung

x = 2 πn, x = 1.40334 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.40334 \dots + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 80.40593 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 279.59406 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (x) + cos (2 x) - 7 cos (x) = - 2

Subtrahiere

- 2

von beiden Seiten

4 cos^{2} (x) + cos (2 x) - 7 cos (x) + 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 + cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) - 7 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 4 cos^{2} (x) - 7 cos (x)

Vereinfache

2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 4 cos^{2} (x) - 7 cos (x) : 6 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 1

2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 4 cos^{2} (x) - 7 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 2 - 1

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = 6 cos^{2} (x)

= 6 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 2 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 6 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 1

= 6 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 1

1 + 6 cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + 6 cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 + 6 u^{2} - 7 u = 0

1 + 6 u^{2} - 7 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{6}

1 + 6 u^{2} - 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 7 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - 7 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 7, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1}{2 \cdot 6}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 5

(- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 7^{2} - 24

7^{2} = 49

= 49 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 5}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 6} : 1

\frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 + 5}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

7 + 5 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{12}{12}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 6} : \frac{1}{6}

\frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 - 5}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{2}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{6}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{6}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{6}

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{6}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = \frac{1}{6} : x = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{6}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1}{6}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{6}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 πn, x = 1.40334 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.40334 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(x)=sqrt(2)+2cos(x)

4cos(θ)=4sqrt(3)sin(θ)

14sin(2x)+7=0

cos^2(x)+4cos(x)-2=0

sec^2(θ)+csc^2(θ)=4