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Beliebt Trigonometrie >

sec^2(θ)+csc^2(θ)=4

Lösung

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

Lösung

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Grad

θ = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) - 4 = 0

Drücke mit sin, cos aus

- 4 + csc^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + sec^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 4 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 = \frac{4}{1}

= - \frac{4}{1} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ) : sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Für

\frac{4}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

\frac{4}{1} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Für

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (θ)

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Für

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin^{2} (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + 1

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Faktorisiere

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) : (1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ))

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Schreibe

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

um:

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 1 - 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2} = (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

= (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

(1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 or 1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + 2 sin (θ) cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 + sin (2 θ)

1 + sin (2 θ) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + sin (2 θ) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

sin (2 θ) = - 1

sin (2 θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn : θ = \frac{3 π}{4} + πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - 2 sin (θ) cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 - sin (2 θ)

1 - sin (2 θ) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - sin (2 θ) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- sin (2 θ) = - 1

- sin (2 θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- sin (2 θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- sin ( 2 θ )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Löse

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = \frac{π}{4} + πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele