English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

sec^2(θ)+csc^2(θ)=4

פתרון

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

פתרון

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

מעלות

θ = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

צעדי פתרון

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

משני האגפים

4

החסר

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) - 4 = 0

sin, cos :

בטא באמצאות

- 4 + csc^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + sec^{2} (θ)

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

פשט את:

\frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 4 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

4 = \frac{4}{1}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{4}{1} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

הכפולה המשותפת המינימלית של:

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear in at least one of the factored expressions

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{4}{1}

עבור

\frac{4}{1} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

cos^{2} (θ)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

עבור

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

sin^{2} (θ)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

עבור

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Rewrite using trig identities

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

= - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + 1

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

פרק לגורמים את:

(1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ))

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

בתור

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

כתוב מחדש את

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

2^{2}

בתור

4

כתוב מחדש את

= 1 - 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

:הפעל את חוק החזקות

2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2} = (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

= (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

(1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ)) = 0

פתור כל חלק בנפרד

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 or 1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Rewrite using trig identities

1 + 2 sin (θ) cos (θ)

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

= 1 + sin (2 θ)

1 + sin (2 θ) = 0

לצד ימין

1

העבר

1 + sin (2 θ) = 0

משני האגפים

1

החסר

1 + sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

פשט

sin (2 θ) = - 1

sin (2 θ) = - 1

sin (2 θ) = - 1 :

פתרונות כלליים עבור

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

פתור את:

θ = \frac{3 π}{4} + πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

פשט את:

θ

\frac{2 θ}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= θ

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט את:

\frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

2 \cdot 2 = 4 :

הכפל את המספרים

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Rewrite using trig identities

1 - 2 sin (θ) cos (θ)

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

= 1 - sin (2 θ)

1 - sin (2 θ) = 0

לצד ימין

1

העבר

1 - sin (2 θ) = 0

משני האגפים

1

החסר

1 - sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

פשט

- sin (2 θ) = - 1

- sin (2 θ) = - 1

- 1

חלק את שני האגפים ב

- sin (2 θ) = - 1

- 1

חלק את שני האגפים ב

\frac{- sin ( 2 θ )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

פשט

sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = 1 :

פתרונות כלליים עבור

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

פתור את:

θ = \frac{π}{4} + πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

פשט את:

θ

\frac{2 θ}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= θ

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט את:

\frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{π}{2 \cdot 2}

2 \cdot 2 = 4 :

הכפל את המספרים

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= πn

= \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

אחד את הפתרונות

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

גרף

דוגמאות פופולריות

sin(x)-cos(x)= 1/5

sin (x) - cos (x) = \frac{1}{5}

cos(θ)=0.56

cos (θ) = 0.56

cos(θ)=0.17

cos (θ) = 0.17

5cos(x)+1=1

5 cos (x) + 1 = 1

cosh(z)=1

cosh (z) = 1