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Popular Trigonometría >

cos(x)-sin(x)= 2/3

Solución

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

Solución

x = π + 1.27628 \dots + 2 πn, x = 0.29451 \dots + 2 πn

Grados

x = 253.12550 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16.87449 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

Sumar

sin (x)

a ambos lados

cos (x) = \frac{2}{3} + sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

cos^{2} (x) = (\frac{2}{3} + sin (x))^{2}

Restar

(\frac{2}{3} + sin (x))^{2}

de ambos lados

cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4}{3} sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Simplificar

cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4}{3} sin (x) - sin^{2} (x) : \frac{9 cos ^{2} ( x ) - 4 - 12 sin ( x ) - 9 sin ^{2} ( x )}{9}

cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4}{3} sin (x) - sin^{2} (x)

Multiplicar

\frac{4}{3} sin (x) : \frac{4 sin ( x )}{3}

\frac{4}{3} sin (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 sin ( x )}{3}

= cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4 sin ( x )}{3} - sin^{2} (x)

Convertir a fracción:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x )}{1}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{1} - \frac{4}{9} - \frac{4 sin ( x )}{3} - \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

Mínimo común múltiplo de

1, 9, 3, 1 : 9

1, 9, 3, 1

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

1

Descomposición en factores primos de

9 : 3 \cdot 3

9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 3 \cdot 3

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

1

Calcular un número compuesto de factores que aparezcan al menos en alguno de los siguientes:

1, 9, 3, 1

= 3 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ^{2} ( x )}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

9

\frac{cos ^{2} ( x )}{1} = \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9}{1 \cdot 9} = \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

Para

\frac{4 sin ( x )}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{4 sin ( x )}{3} = \frac{4 sin ( x ) \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{12 sin ( x )}{9}

Para

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

9

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} = \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{1 \cdot 9} = \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9}{9} - \frac{4}{9} - \frac{12 sin ( x )}{9} - \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9 - 4 - 12 sin ( x ) - sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

\frac{9 cos ^{2} ( x ) - 4 - 12 sin ( x ) - 9 sin ^{2} ( x )}{9} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

9 cos^{2} (x) - 4 - 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 - 12 sin (x) + 9 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 4 - 12 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x) : - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

- 4 - 12 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Expandir

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 4 - 12 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) : - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

- 4 - 12 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Sumar elementos similares:

- 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 18 sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 9 - 18 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 12 sin (x) - 18 sin^{2} (x) - 4 + 9

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 9 = 5

= - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

= - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

= - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

5 - 12 sin (x) - 18 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

5 - 12 sin (x) - 18 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

5 - 12 u - 18 u^{2} = 0

5 - 12 u - 18 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 + 14}{6}, u = \frac{14 - 2}{6}

5 - 12 u - 18 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 18 u^{2} - 12 u + 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 18 u^{2} - 12 u + 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 18, b = - 12, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 18 ) \cdot 5}{2 ( - 18 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 18 ) \cdot 5}{2 ( - 18 )}

(- 12)^{2} - 4 (- 18) \cdot 5 = 614

(- 12)^{2} - 4 (- 18) \cdot 5

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 12)^{2} + 4 \cdot 18 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} + 4 \cdot 18 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 18 \cdot 5 = 360

= 1 2^{2} + 360

1 2^{2} = 144

= 144 + 360

Sumar:

144 + 360 = 504

= 504

Descomposición en factores primos de

504 : 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

504

504

divida por

2504 = 252 \cdot 2

= 2 \cdot 252

252

divida por

2252 = 126 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 126

126

divida por

2126 = 63 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 63

63

divida por

363 = 21 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 21

21

divida por

321 = 7 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 7

Simplificar

= 614

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 6 14}{2 ( - 18 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 6 14}{2 ( - 18 )}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 6 14}{2 ( - 18 )}

u = \frac{- ( - 12 ) + 6 14}{2 ( - 18 )} : - \frac{2 + 14}{6}

\frac{- ( - 12 ) + 6 14}{2 ( - 18 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 + 6 14}{- 2 \cdot 18}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{12 + 6 14}{- 36}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12 + 6 14}{36}

Cancelar

\frac{12 + 6 14}{36} : \frac{2 + 14}{6}

\frac{12 + 6 14}{36}

Factorizar

12 + 614 : 6 (2 + 14)

12 + 614

Reescribir como

= 6 \cdot 2 + 614

Factorizar el termino común

6

= 6 (2 + 14)

= \frac{6 ( 2 + 14 )}{36}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{2 + 14}{6}

= - \frac{2 + 14}{6}

u = \frac{- ( - 12 ) - 6 14}{2 ( - 18 )} : \frac{14 - 2}{6}

\frac{- ( - 12 ) - 6 14}{2 ( - 18 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 - 6 14}{- 2 \cdot 18}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{12 - 6 14}{- 36}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

12 - 614 = - (614 - 12)

= \frac{6 14 - 12}{36}

Factorizar

614 - 12 : 6 (14 - 2)

614 - 12

Reescribir como

= 614 - 6 \cdot 2

Factorizar el termino común

6

= 6 (14 - 2)

= \frac{6 ( 14 - 2 )}{36}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{14 - 2}{6}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{2 + 14}{6}, u = \frac{14 - 2}{6}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}, sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}, sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6} : x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

sin (x) = \frac{14 - 2}{6} : x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn :

Falso

arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

por

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

cos (arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) - sin (arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Simplificar

1.24721 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn :

Verdadero

π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

por

x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

cos (π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) - sin (π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Simplificar

0.66666 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

por

x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

cos (arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) - sin (arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Simplificar

0.66666 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

por

x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

cos (π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) - sin (π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Simplificar

- 1.24721 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Falso

x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = π + 1.27628 \dots + 2 πn, x = 0.29451 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(x)= 4/2

arctan(x+1/3)+arctan(x-1/3)=arctan(2)

sin(θ)=0,64

cos(3x)=cos(2x)

2cos(x)cos^3(x)+cos^2(x)-sin^2(x)=cos(x)