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Popular Trigonometría >

5cos^2(θ)=6sin(θ)

Solución

5 cos^{2} (θ) = 6 sin (θ)

Solución

θ = 0.60187 \dots + 2 πn, θ = π - 0.60187 \dots + 2 πn

Grados

θ = 34.48499 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 145.51500 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 cos^{2} (θ) = 6 sin (θ)

Restar

6 sin (θ)

de ambos lados

5 cos^{2} (θ) - 6 sin (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

5 cos^{2} (θ) - 6 sin (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 5 (1 - sin^{2} (θ)) - 6 sin (θ)

(1 - sin^{2} (θ)) \cdot 5 - 6 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

(1 - sin^{2} (θ)) \cdot 5 - 6 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u = 0 : u = - \frac{3 + 34}{5}, u = \frac{34 - 3}{5}

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u = 0

Desarrollar

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u : 5 - 5 u^{2} - 6 u

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u

= 5 (1 - u^{2}) - 6 u

Expandir

5 (1 - u^{2}) : 5 - 5 u^{2}

5 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 1, c = u^{2}

= 5 \cdot 1 - 5 u^{2}

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 u^{2}

= 5 - 5 u^{2} - 6 u

5 - 5 u^{2} - 6 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 6 u + 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 5 u^{2} - 6 u + 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 5, b = - 6, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

(- 6)^{2} - 4 (- 5) \cdot 5 = 234

(- 6)^{2} - 4 (- 5) \cdot 5

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 6)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 6^{2} + 100

6^{2} = 36

= 36 + 100

Sumar:

36 + 100 = 136

= 136

Descomposición en factores primos de

136 : 2^{3} \cdot 17

136

136

divida por

2136 = 68 \cdot 2

= 2 \cdot 68

68

divida por

268 = 34 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 34

34

divida por

234 = 17 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 17

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 2 \cdot 17

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 17

Simplificar

= 234

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 34}{2 ( - 5 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 34}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 34}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 6 ) + 2 34}{2 ( - 5 )} : - \frac{3 + 34}{5}

\frac{- ( - 6 ) + 2 34}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 + 2 34}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6 + 2 34}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 + 2 34}{10}

Cancelar

\frac{6 + 2 34}{10} : \frac{3 + 34}{5}

\frac{6 + 2 34}{10}

Factorizar

6 + 234 : 2 (3 + 34)

6 + 234

Reescribir como

= 2 \cdot 3 + 234

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 + 34)

= \frac{2 ( 3 + 34 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 + 34}{5}

= - \frac{3 + 34}{5}

u = \frac{- ( - 6 ) - 2 34}{2 ( - 5 )} : \frac{34 - 3}{5}

\frac{- ( - 6 ) - 2 34}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 - 2 34}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6 - 2 34}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

6 - 234 = - (234 - 6)

= \frac{2 34 - 6}{10}

Factorizar

234 - 6 : 2 (34 - 3)

234 - 6

Reescribir como

= 234 - 2 \cdot 3

Factorizar el termino común

2

= 2 (34 - 3)

= \frac{2 ( 34 - 3 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{34 - 3}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{3 + 34}{5}, u = \frac{34 - 3}{5}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{3 + 34}{5}, sin (θ) = \frac{34 - 3}{5}

sin (θ) = - \frac{3 + 34}{5}, sin (θ) = \frac{34 - 3}{5}

sin (θ) = - \frac{3 + 34}{5} :

Sin solución

sin (θ) = - \frac{3 + 34}{5}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (θ) = \frac{34 - 3}{5} : θ = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{34 - 3}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{34 - 3}{5}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{34 - 3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.60187 \dots + 2 πn, θ = π - 0.60187 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

8tan(θ)=0

12cos^2(x)+11cos(x)-5=0

21+18cos(x)=16sin^2(x)

cot(θ-pi/2)=1.07,tan(θ)

sin(b)=0.4848