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Popular Trigonometría >

cos(2x)+sec(2x)=11

Solución

cos (2 x) + sec (2 x) = 11

Solución

x = \frac{1.47899 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.47899 \dots}{2} + πn

Grados

x = 42.37006 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 137.62993 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 x) + sec (2 x) = 11

Restar

11

de ambos lados

cos (2 x) + sec (2 x) - 11 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 11 + cos (2 x) + sec (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x)

- 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x) = 0

Usando el método de sustitución

- 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x) = 0

Sea:

sec (2 x) = u

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0 : u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 11 u + \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 11 u + \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 1

Simplificar

uu : u^{2}

uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

Resolver

- 11 u + 1 + u^{2} = 0 : u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 11 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 11 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 11, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 313

(- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 11)^{2} = 1 1^{2}

= 1 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 1^{2} - 4

1 1^{2} = 121

= 121 - 4

Restar:

121 - 4 = 117

= 117

Descomposición en factores primos de

117 : 3^{2} \cdot 13

117

117

divida por

3117 = 39 \cdot 3

= 3 \cdot 39

39

divida por

339 = 13 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 13

3, 13

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 3 \cdot 3 \cdot 13

= 3^{2} \cdot 13

= 3^{2} \cdot 13

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 13 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 313

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm 3 13}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1} : \frac{11 + 3 13}{2}

\frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{11 + 3 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{11 + 3 13}{2}

u = \frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1} : \frac{11 - 3 13}{2}

\frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{11 - 3 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{11 - 3 13}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 11 + \frac{1}{u} + u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sec (2 x)

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}, sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}, sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2} : x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

Soluciones generales para

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Resolver

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn : x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

Resolver

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn : x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2} - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2} :

Sin solución

sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{1.47899 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.47899 \dots}{2} + πn

Gráfica

Ejemplos populares

5tan(x)-4=0

3tan(x)sin(x)-2tan(x)=0

csc^2(x)+3csc(x)-4=0

cos^2(φ)=sin^2(φ)

sin^2(x)-2cos^2(x)=0