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Popular Trigonometria >

1+cot^2(x)=8sin(x)

Solução

1 + cot^{2} (x) = 8 sin (x)

Solução

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graus

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

1 + cot^{2} (x) = 8 sin (x)

Subtrair

8 sin (x)

de ambos os lados

1 + cot^{2} (x) - 8 sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + cot^{2} (x) - 8 sin (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - 8 sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x)

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x) = 0

Usando o método de substituição

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u^{2}

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u^{2}

1 \cdot u^{2} + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} - 8 u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

1 \cdot u^{2} + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} - 8 u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

1 \cdot u^{2} : u^{2}

1 \cdot u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= u^{2}

Simplificar

\frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} : 1 - u^{2}

\frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - u ^{2} ) u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

u^{2}

= 1 - u^{2}

Simplificar

- 8 u u^{2} : - 8 u^{3}

- 8 u u^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= - 8 u^{1 + 2}

Somar:

1 + 2 = 3

= - 8 u^{3}

Simplificar

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3} = 0

Simplificar

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3} : - 8 u^{3} + 1

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3}

Agrupar termos semelhantes

= - 8 u^{3} + u^{2} - u^{2} + 1

Somar elementos similares:

u^{2} - u^{2} = 0

= - 8 u^{3} + 1

- 8 u^{3} + 1 = 0

- 8 u^{3} + 1 = 0

- 8 u^{3} + 1 = 0

Resolver

- 8 u^{3} + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

- 8 u^{3} + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

- 8 u^{3} + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

- 8 u^{3} + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 8 u^{3} = - 1

- 8 u^{3} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 8

- 8 u^{3} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 8

\frac{- 8 u ^{3}}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}

Simplificar

u^{3} = \frac{1}{8}

u^{3} = \frac{1}{8}

Para

x^{3} = f (a)

as soluções são

x = 3 f (a), 3 f (a) \frac{- 1 - 3 i}{2}, 3 f (a) \frac{- 1 + 3 i}{2}

u = 3 \frac{1}{8}, u = 3 \frac{1}{8} \frac{- 1 + 3 i}{2}, u = 3 \frac{1}{8} \frac{- 1 - 3 i}{2}

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

3 \frac{1}{8}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 8}

38 = 2

38

Fatorar o número:

8 = 2^{3}

= 3 2^{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 2

= \frac{3 1}{2}

Aplicar a regra

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2}

Simplificar

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 + 3 i}{2} : - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 + 3 i}{2}

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

3 \frac{1}{8}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 8}

38 = 2

38

Fatorar o número:

8 = 2^{3}

= 3 2^{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 2

= \frac{3 1}{2}

Aplicar a regra

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 3 i}{2}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 + 3 i) = - 1 + 3 i

1 \cdot (- 1 + 3 i)

Multiplicar:

1 \cdot (- 1 + 3 i) = (- 1 + 3 i)

= (- 1 + 3 i)

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= - 1 + 3 i

= \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 3 i}{4}

Reescrever

\frac{- 1 + 3 i}{4}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

\frac{- 1 + 3 i}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

Simplificar

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 - 3 i}{2} : - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 - 3 i}{2}

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

3 \frac{1}{8}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 8}

38 = 2

38

Fatorar o número:

8 = 2^{3}

= 3 2^{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 2

= \frac{3 1}{2}

Aplicar a regra

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 - 3 i}{2}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 - 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 - 3 i) = - 1 - 3 i

1 \cdot (- 1 - 3 i)

Multiplicar:

1 \cdot (- 1 - 3 i) = (- 1 - 3 i)

= (- 1 - 3 i)

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= - 1 - 3 i

= \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 3 i}{4}

Reescrever

\frac{- 1 - 3 i}{4}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

\frac{- 1 - 3 i}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{4} = - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u

e comparar com zero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4} :

Sem solução

sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4} :

Sem solução

sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

4sin^2(x)=8sin^2(x/2)

4 sin^{2} (x) = 8 sin^{2} (\frac{x}{2})

cos(pi/2-x)=0

cos (\frac{π}{2} - x) = 0

1sin(45)=2.42sin(r)

1 sin (4 5^{\circ}) = 2.42 sin (r)

sec(x)=4sin(x)

sec (x) = 4 sin (x)

sinh(npi)=0

sinh (nπ) = 0