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Popular Trigonometría >

2cos(x)+1=sin(x)

Solución

2 cos (x) + 1 = sin (x)

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = - 2.49809 \dots + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 143.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos (x) + 1 = sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 cos (x) + 1)^{2} = sin^{2} (x)

Restar

sin^{2} (x)

de ambos lados

(2 cos (x) + 1)^{2} - sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(1 + 2 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + 2 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

(1 + 2 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x)) : 5 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

(1 + 2 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

(1 + 2 cos (x))^{2} : 1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = 2 cos (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 cos (x) + (2 cos (x))^{2}

Simplificar

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 cos (x) + (2 cos (x))^{2} : 1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 cos (x) + (2 cos (x))^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 cos (x) + (2 cos (x))^{2}

2 \cdot 1 \cdot 2 cos (x) = 4 cos (x)

2 \cdot 1 \cdot 2 cos (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 \cdot 2 = 4

= 4 cos (x)

(2 cos (x))^{2} = 4 cos^{2} (x)

(2 cos (x))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} cos^{2} (x)

2^{2} = 4

= 4 cos^{2} (x)

= 1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x)

= 1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x)

= 1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Simplificar

1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) : 5 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

1 + 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= 4 cos (x) + 4 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) + 1 - 1

Sumar elementos similares:

4 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 5 cos^{2} (x)

= 4 cos (x) + 5 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 5 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

= 5 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

= 5 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

4 cos (x) + 5 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

4 cos (x) + 5 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

4 u + 5 u^{2} = 0

4 u + 5 u^{2} = 0 : u = 0, u = - \frac{4}{5}

4 u + 5 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} + 4 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

5 u^{2} + 4 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 5, b = 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0}{2 \cdot 5}

4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 4

4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 4^{2} - 0

4^{2} - 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4}{2 \cdot 5}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 + 4}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 4 - 4}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 4 + 4}{2 \cdot 5} : 0

\frac{- 4 + 4}{2 \cdot 5}

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 4 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{10}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 4 - 4}{2 \cdot 5} : - \frac{4}{5}

\frac{- 4 - 4}{2 \cdot 5}

Restar:

- 4 - 4 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 8}{10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{4}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 0, u = - \frac{4}{5}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = - \frac{4}{5}

cos (x) = 0, cos (x) = - \frac{4}{5}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{4}{5} : x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{4}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{4}{5}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{4}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 cos (x) + 1 = sin (x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) + 1 = sin (x)

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 1 = sin (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) + 1 = sin (x)

por

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 1 = sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

1 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) + 1 = sin (x)

por

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

2 cos (arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) + 1 = sin (arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.6 = 0.6

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Verdadero

- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) + 1 = sin (x)

por

x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

2 cos (- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) + 1 = sin (- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.6 = - 0.6

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = - 2.49809 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

(sin(47))/(12)=(sin(x))/(11)