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Popular Trigonometría >

arctan(1/(x-1))+arctan(2/(x+1))= pi/4

Solución

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Solución

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Pasos de solución

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1})

Utilizar la identidad suma-producto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}})

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Resolver

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Simplificar

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} : \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Simplificar

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

en una fracción:

\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

Mínimo común múltiplo de

x - 1, x + 1 : (x - 1) (x + 1)

x - 1, x + 1

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

x - 1

x + 1

= (x - 1) (x + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{x - 1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

x + 1

\frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Para

\frac{2}{x + 1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

x - 1

\frac{2}{x + 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

= \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Expandir

x + 1 + 2 (x - 1) : 3 x - 1

x + 1 + 2 (x - 1)

Expandir

2 (x - 1) : 2 x - 2

2 (x - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = x, c = 1

= 2 x - 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 x - 2

= x + 1 + 2 x - 2

Simplificar

x + 1 + 2 x - 2 : 3 x - 1

x + 1 + 2 x - 2

Agrupar términos semejantes

= x + 2 x + 1 - 2

Sumar elementos similares:

x + 2 x = 3 x

= 3 x + 1 - 2

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 2 = - 1

= 3 x - 1

= 3 x - 1

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} )}

Simplificar

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

en una fracción:

\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplicar:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Expandir

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Expandir

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Restar:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

= \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{3 x - 1}{\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} ( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplicar

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Eliminar los terminos comunes:

x - 1

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x + 1 )}{x + 1}

Eliminar los terminos comunes:

x + 1

= x^{2} - 3

= \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Multiplicar ambos lados por

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Multiplicar ambos lados por

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Simplificar

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Simplificar

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) : 3 x - 1

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 3 x - 1 ) ( x ^{2} - 3 )}{x ^{2} - 3}

Eliminar los terminos comunes:

x^{2} - 3

= 3 x - 1

Simplificar

1 \cdot (x^{2} - 3) : x^{2} - 3

1 \cdot (x^{2} - 3)

Multiplicar:

1 \cdot (x^{2} - 3) = (x^{2} - 3)

= (x^{2} - 3)

Quitar los parentesis:

(a) = a

= x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

Resolver

3 x - 1 = x^{2} - 3 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

3 x - 1 = x^{2} - 3

Intercambiar lados

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Desplace

1

a la izquierda

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Sumar

1

a ambos lados

x^{2} - 3 + 1 = 3 x - 1 + 1

Simplificar

x^{2} - 2 = 3 x

x^{2} - 2 = 3 x

Desplace

3 x

a la izquierda

x^{2} - 2 = 3 x

Restar

3 x

de ambos lados

x^{2} - 2 - 3 x = 3 x - 3 x

Simplificar

x^{2} - 2 - 3 x = 0

x^{2} - 2 - 3 x = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 3, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 17

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

Sumar:

9 + 8 = 17

= 17

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 + 17}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 17}{2}

x = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 - 17}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 17}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

y comparar con cero

Resolver

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0 : x = 3, x = - 3

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0

Simplificar

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} : - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= - \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Multiplicar ambos lados por

(x - 1) (x + 1)

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Multiplicar ambos lados por

(x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Simplificar

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Simplificar

1 \cdot (x - 1) (x + 1) : (x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1)

Multiplicar:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= (x - 1) (x + 1)

Simplificar

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) : - 2

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Eliminar los terminos comunes:

x - 1

= - \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

Eliminar los terminos comunes:

x + 1

= - 2

Simplificar

0 \cdot (x - 1) (x + 1) : 0

0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Resolver

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0 : x = 3, x = - 3

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Desarrollar

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Expandir

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Restar:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

x^{2} - 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

x^{2} - 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 0, c = - 3

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 23

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Aplicar la regla

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 0 + 12

Sumar:

0 + 12 = 12

= 12

Descomposición en factores primos de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 3 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 23

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 + 23 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 3}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3

x = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 - 23 = - 23

= \frac{- 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 3}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 3

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = 3, x = - 3

x = 3, x = - 3

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

x = 1, x = - 1

Tomar el(los) denominador(es) de

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

y comparar con cero

Resolver

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

x - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

x - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

x = 1

x = 1

Resolver

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

x + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

x + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

x = - 1

x = - 1

Los siguientes puntos no están definidos

x = 1, x = - 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

x = 3, x = - 3

Resolver

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

x - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

x - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

x = 1

x = 1

Resolver

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

x + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

x + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

x = - 1

x = - 1

Los siguientes puntos no están definidos

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{3 + 17}{2} :

Verdadero

\frac{3 + 17}{2}

Sustituir

n = 1

\frac{3 + 17}{2}

Multiplicar

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

por

x = \frac{3 + 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 + 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 + 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{3 - 17}{2} :

Verdadero

\frac{3 - 17}{2}

Sustituir

n = 1

\frac{3 - 17}{2}

Multiplicar

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

por

x = \frac{3 - 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 - 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 - 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Gráfica

Ejemplos populares

cot(3x)=-tan(-(2pi)/5)

cos(x)= 60/61

cot(x)=sqrt(2)

cos(θ)cot(θ)=-cos(θ)

tan(x/2)=-1/(sqrt(3))