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Populaire Trigonométrie >

3cos(2θ)+5cos(θ)+2=0

Solution

3 cos (2 θ) + 5 cos (θ) + 2 = 0

Solution

θ = 1.40334 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.40334 \dots + 2 πn, θ = π + 2 πn

Degrés

θ = 80.40593 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 279.59406 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

3 cos (2 θ) + 5 cos (θ) + 2 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 + 3 cos (2 θ) + 5 cos (θ)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 5 cos (θ)

Simplifier

2 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 5 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) - 1

2 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 5 cos (θ)

Développer

3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Simplifier

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1 : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multiplier les nombres :

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 2 + 6 cos^{2} (θ) - 3 + 5 cos (θ)

Simplifier

2 + 6 cos^{2} (θ) - 3 + 5 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) - 1

2 + 6 cos^{2} (θ) - 3 + 5 cos (θ)

Grouper comme termes

= 6 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) + 2 - 3

Additionner/Soustraire les nombres :

2 - 3 = - 1

= 6 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) - 1

= 6 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) - 1

= 6 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) - 1

- 1 + 5 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Résoudre par substitution

- 1 + 5 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Soit :

cos (θ) = u

- 1 + 5 u + 6 u^{2} = 0

- 1 + 5 u + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{6}, u = - 1

- 1 + 5 u + 6 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} + 5 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

6 u^{2} + 5 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 6, b = 5, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

5^{2} - 4 \cdot 6 (- 1) = 7

5^{2} - 4 \cdot 6 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Additionner les nombres :

25 + 24 = 49

= 49

Factoriser le nombre :

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 \cdot 6}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 6}

u = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 6} : \frac{1}{6}

\frac{- 5 + 7}{2 \cdot 6}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 5 + 7 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{2}{12}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{6}

u = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 6} : - 1

\frac{- 5 - 7}{2 \cdot 6}

Soustraire les nombres :

- 5 - 7 = - 12

= \frac{- 12}{2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 12}{12}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{12}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{1}{6}, u = - 1

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{1}{6}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{6}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{6} : θ = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{6}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (θ) = \frac{1}{6}

Solutions générales pour

cos (θ) = \frac{1}{6}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Solutions générales pour

cos (θ) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, θ = π + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = 1.40334 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.40334 \dots + 2 πn, θ = π + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

6sec^2(x)-8=tan(x)

cos(x)= 59/95

sin(a)= 5/9

sin(x-20)= 1/(sqrt(2))

cos(5x)-cos(x)=sin(5x)-sin(x)