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9cos^2(θ)-12cos(θ)=-4

Solución

9 cos^{2} (θ) - 12 cos (θ) = - 4

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Grados

θ = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

9 cos^{2} (θ) - 12 cos (θ) = - 4

Usando el método de sustitución

9 cos^{2} (θ) - 12 cos (θ) = - 4

Sea:

cos (θ) = u

9 u^{2} - 12 u = - 4

9 u^{2} - 12 u = - 4 : u = \frac{2}{3}

9 u^{2} - 12 u = - 4

Desplace

4

a la izquierda

9 u^{2} - 12 u = - 4

Sumar

4

a ambos lados

9 u^{2} - 12 u + 4 = - 4 + 4

Simplificar

9 u^{2} - 12 u + 4 = 0

9 u^{2} - 12 u + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

9 u^{2} - 12 u + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 9, b = - 12, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4}{2 \cdot 9}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4}{2 \cdot 9}

(- 12)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 0

(- 12)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 9 \cdot 4 = 144

= 1 2^{2} - 144

1 2^{2} = 144

= 144 - 144

Restar:

144 - 144 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 0}{2 \cdot 9}

u = \frac{- ( - 12 )}{2 \cdot 9}

\frac{- ( - 12 )}{2 \cdot 9} = \frac{2}{3}

\frac{- ( - 12 )}{2 \cdot 9}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{12}{2 \cdot 9}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{12}{18}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{2}{3}

u = \frac{2}{3}

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = \frac{2}{3}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (θ) = \frac{2}{3} : θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{2}{3}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn