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Populaire Trigonométrie >

4sin(x)+5cos(x)=6

Solution

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Solution

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

Degrés

x = 59.09912 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18.22049 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Soustraire

5 cos (x)

des deux côtés

4 sin (x) = 6 - 5 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(4 sin (x))^{2} = (6 - 5 cos (x))^{2}

Soustraire

(6 - 5 cos (x))^{2}

des deux côtés

16 sin^{2} (x) - 36 + 60 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 36 + 16 sin^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Simplifier

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Développer

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Simplifier

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Additionner les éléments similaires :

- 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 41 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Additionner/Soustraire les nombres :

- 36 + 16 = - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0 : u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 41, b = 60, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20) = 85

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 6 0^{2} - 4 \cdot 41 \cdot 20

Multiplier les nombres :

4 \cdot 41 \cdot 20 = 3280

= 6 0^{2} - 3280

6 0^{2} = 3600

= 3600 - 3280

Soustraire les nombres :

3600 - 3280 = 320

= 320

Factorisation première de

320 : 2^{6} \cdot 5

320

320

divisée par

2320 = 160 \cdot 2

= 2 \cdot 160

160

divisée par

2160 = 80 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 80

80

divisée par

280 = 40 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 40

40

divisée par

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20

divisée par

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

divisée par

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

Appliquer la règle des radicaux:

= 5 2^{6}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5

Redéfinir

= 85

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 8 5}{2 ( - 41 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}, u_{2} = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

u = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

\frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 60 + 8 5}{- 2 \cdot 41}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 + 8 5}{- 82}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 + 85 = - (60 - 85)

= \frac{60 - 8 5}{82}

Factoriser

60 - 85 : 4 (15 - 25)

60 - 85

Récrire comme

= 4 \cdot 15 - 4 \cdot 25

Factoriser le terme commun

4

= 4 (15 - 25)

= \frac{4 ( 15 - 2 5 )}{82}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

u = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

\frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 60 - 8 5}{- 2 \cdot 41}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 - 8 5}{- 82}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 - 85 = - (60 + 85)

= \frac{60 + 8 5}{82}

Factoriser

60 + 85 : 4 (15 + 25)

60 + 85

Récrire comme

= 4 \cdot 15 + 4 \cdot 25

Factoriser le terme commun

4

= 4 (15 + 25)

= \frac{4 ( 15 + 2 5 )}{82}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

insérer

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

6 = 6

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

- 0.86445 \dots = 6

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

insérer

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

6 = 6

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

3.49860 \dots = 6

\Rightarrow Faux

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

(sqrt(3))/2 cos(x)+1/2 sin(x)= 1/2

cos(x)=(-4)/5

3cot(3/2)+2csc(x/2)=0,0<= ,x<= 360

cos(x)=sqrt(2)cos(45+x)

2sin(θ)=1.124