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Popular Trigonometría >

2tan^2(x)+1=cos(x)

Solución

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

Solución

x = 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 tan^{2} (x) + 1)^{2} = cos^{2} (x)

Restar

cos^{2} (x)

de ambos lados

(2 tan^{2} (x) + 1)^{2} - cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(1 + 2 tan^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= (1 + 2 (sec^{2} (x) - 1))^{2} - cos^{2} (x)

Expandir

1 + 2 (sec^{2} (x) - 1) : 2 sec^{2} (x) - 1

1 + 2 (sec^{2} (x) - 1)

Expandir

2 (sec^{2} (x) - 1) : 2 sec^{2} (x) - 2

2 (sec^{2} (x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = sec^{2} (x), c = 1

= 2 sec^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sec^{2} (x) - 2

= 1 + 2 sec^{2} (x) - 2

Simplificar

1 + 2 sec^{2} (x) - 2 : 2 sec^{2} (x) - 1

1 + 2 sec^{2} (x) - 2

Agrupar términos semejantes

= 2 sec^{2} (x) + 1 - 2

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 2 = - 1

= 2 sec^{2} (x) - 1

= 2 sec^{2} (x) - 1

= (2 sec^{2} (x) - 1)^{2} - cos^{2} (x)

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = 0

Factorizar

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) : (- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x)) (- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x))

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) + cos (x)) ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) - cos (x))

= ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) + cos (x)) ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) - cos (x))

Simplificar

= (2 sec^{2} (x) + cos (x) - 1) (2 sec^{2} (x) - cos (x) - 1)

(- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x)) (- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x) = 0 or - 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x) = 0

- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x) = 0 : x = π + 2 πn

- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (x) + 2 sec^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 + \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x)

- 1 + \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 1 \cdot u + \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u + \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= - u

Simplificar

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 1

Simplificar

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

Resolver

- u + 1 + 2 u^{3} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u + 1 = 0

Factorizar

2 u^{3} - u + 1 : (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

2 u^{3} - u + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2}

- \frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u + 1

= (u + 1) \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} - 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} : \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{3} - u + 1

y el divisor

u + 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u^{2}

Substraer

2 u^{3} + 2 u^{2}

2 u^{3} - u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 2 u^{2} - u + 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} : \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 2 u^{2} - u + 1

y el divisor

u + 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Cociente = - 2 u

Multiplicar

u + 1

por

- 2 u : - 2 u^{2} - 2 u

Substraer

- 2 u^{2} - 2 u

- 2 u^{2} - u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = u + 1

Por lo tanto

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{u + 1}{u + 1} : \frac{u + 1}{u + 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u + 1

y el divisor

u + 1 : \frac{u}{u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

u + 1

por

1 : u + 1

Substraer

u + 1

u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{u + 1}{u + 1} = 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

(u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplificar

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 8 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 i}{4}

Factorizar

2 + 2 i : 2 (1 + i)

2 + 2 i

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + i)

= \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 + i}{2}

Reescribir

\frac{1 + i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{1 + i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 i}{4}

Factorizar

2 - 2 i : 2 (1 - i)

2 - 2 i

Reescribir como

= 2 \cdot 1 - 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 - i)

= \frac{2 ( 1 - i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 - i}{2}

Reescribir

\frac{1 - i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

\frac{1 - i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Las soluciones son

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = - 1, sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = - 1, sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Soluciones generales para

sec (x) = - 1

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Sin solución

sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Sin solución

sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = π + 2 πn

- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x) = 0 : x = 2 πn

- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - cos (x) + 2 sec^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 - \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x)

- 1 - \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 - \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= - u

Simplificar

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 1

Simplificar

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Resolver

- u - 1 + 2 u^{3} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u - 1 = 0

Factorizar

2 u^{3} - u - 1 : (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

2 u^{3} - u - 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{3} - u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Substraer

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u^{2} - u - 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{2} - u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Cociente = 2 u

Multiplicar

u - 1

por

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substraer

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = u - 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

u - 1

por

1 : u - 1

Substraer

u - 1

u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplificar

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 8 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

Factorizar

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Reescribir

\frac{- 1 + i}{2}

en la forma binómica:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

Factorizar

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1 + i}{2}

Reescribir

- \frac{1 + i}{2}

en la forma binómica:

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Las soluciones son

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = 1, sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = 1, sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = 1 : x = 2 πn

sec (x) = 1

Soluciones generales para

sec (x) = 1

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Sin solución

sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Sin solución

sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = π + 2 πn, x = 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + 2 π 1

Multiplicar

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

por

x = π + 2 π 1

2 tan^{2} (π + 2 π 1) + 1 = cos (π + 2 π 1)

Simplificar

1 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 πn :

Verdadero

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

por

x = 2 π 1

2 tan^{2} (2 π 1) + 1 = cos (2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

x = 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sec(x)=-4/3

sin(B)= 1/4

55sin(θ)-20-20cos(θ)=0

8sin^2(x)=1

5sin(x)cos(x)=cos(x)