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csc^2(x)-3csc(x)-2=0

Solución

csc^{2} (x) - 3 csc (x) - 2 = 0

x = 0.28460 \dots + 2 πn, x = π - 0.28460 \dots + 2 πn

Grados

x = 16.30654 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 163.69345 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

csc^{2} (x) - 3 csc (x) - 2 = 0

Usando el método de sustitución

csc^{2} (x) - 3 csc (x) - 2 = 0

Sea:

csc (x) = u

u^{2} - 3 u - 2 = 0

u^{2} - 3 u - 2 = 0 : u = \frac{3 + 17}{2}, u = \frac{3 - 17}{2}

u^{2} - 3 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 3 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 3, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 17

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

Sumar:

9 + 8 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 + 17}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 17}{2}

u = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 - 17}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 17}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{3 + 17}{2}, u = \frac{3 - 17}{2}

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = \frac{3 + 17}{2}, csc (x) = \frac{3 - 17}{2}

csc (x) = \frac{3 + 17}{2}, csc (x) = \frac{3 - 17}{2}

csc (x) = \frac{3 + 17}{2} : x = arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn

csc (x) = \frac{3 + 17}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (x) = \frac{3 + 17}{2}

Soluciones generales para

csc (x) = \frac{3 + 17}{2}

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn

x = arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn

csc (x) = \frac{3 - 17}{2} :

Sin solución

csc (x) = \frac{3 - 17}{2}

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{3 + 17}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.28460 \dots + 2 πn, x = π - 0.28460 \dots + 2 πn