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Populaire Trigonométrie >

sin(x)-1=sqrt(3)cos(x)

Solution

sin (x) - 1 = 3 cos (x)

Solution

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Degrés

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (x) - 1 = 3 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(sin (x) - 1)^{2} = (3 cos (x))^{2}

Soustraire

(3 cos (x))^{2}

des deux côtés

(sin (x) - 1)^{2} - 3 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(- 1 + sin (x))^{2} - 3 cos^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x))

Simplifier

(- 1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

(- 1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x))

(- 1 + sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin (x)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (x) + sin^{2} (x)

Simplifier

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (x) + sin^{2} (x)

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 (1 - sin^{2} (x))

Développer

- 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 3 + 3 sin^{2} (x)

- 3 (1 - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Simplifier

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Grouper comme termes

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 1 - 3

Additionner les éléments similaires :

sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) = 4 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) + 1 - 3

Additionner/Soustraire les nombres :

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Additionner les nombres :

4 + 32 = 36

= 36

Factoriser le nombre :

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Additionner les nombres :

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Soustraire les nombres :

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= - \frac{1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Solutions générales pour

sin (x) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

sin (x) - 1 = 3 cos (x)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{π}{2} + 2 πn :

vrai

\frac{π}{2} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Pour

sin (x) - 1 = 3 cos (x)

insérer

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) - 1 = 3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Redéfinir

0 = 0

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

vrai

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Pour

sin (x) - 1 = 3 cos (x)

insérer

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

sin (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - 1 = 3 cos (\frac{7 π}{6} + 2 π 1)

Redéfinir

- 1.5 = - 1.5

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Faux

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Pour

sin (x) - 1 = 3 cos (x)

insérer

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

sin (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) - 1 = 3 cos (\frac{11 π}{6} + 2 π 1)

Redéfinir

- 1.5 = 1.5

\Rightarrow Faux

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

cos(3x)=-cos(x)

sqrt(3)sin(x)-((sqrt(3)sin(x))-1)=1n

3=3-3cos(θ)

cos(x)=-cos(pi/7)

5cos(x)-sin(x)=1