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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x/2)=sin^2(x)

Lösung

sin^{2} (\frac{x}{2}) = sin^{2} (x)

Lösung

x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 2 π + \frac{8 πn}{3}

Grad

x = 0^{\circ} + 48 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 48 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 48 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 48 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (\frac{x}{2}) = sin^{2} (x)

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

sin^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (x) = 0

Faktorisiere

sin^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (x) : (sin (\frac{x}{2}) + sin (x)) (sin (\frac{x}{2}) - sin (x))

sin^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (x) = (sin (\frac{x}{2}) + sin (x)) (sin (\frac{x}{2}) - sin (x))

= (sin (\frac{x}{2}) + sin (x)) (sin (\frac{x}{2}) - sin (x))

(sin (\frac{x}{2}) + sin (x)) (sin (\frac{x}{2}) - sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (\frac{x}{2}) + sin (x) = 0 or sin (\frac{x}{2}) - sin (x) = 0

sin (\frac{x}{2}) + sin (x) = 0 : x = 2 π + 8 πn, x = 6 π + 8 πn, x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

sin (\frac{x}{2}) + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{x}{2}) + sin (x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= 2 sin (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) cos (\frac{\frac{x}{2} - x}{2})

Vereinfache

2 sin (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) cos (\frac{\frac{x}{2} - x}{2}) : 2 cos (\frac{x}{4}) sin (\frac{3 x}{4})

2 sin (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) cos (\frac{\frac{x}{2} - x}{2})

\frac{\frac{x}{2} + x}{2} = \frac{3 x}{4}

\frac{\frac{x}{2} + x}{2}

Füge

\frac{x}{2} + x

zusammen:

\frac{3 x}{2}

\frac{x}{2} + x

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 2}{2}

= \frac{x}{2} + \frac{x \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + x \cdot 2}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x + 2 x = 3 x

= \frac{3 x}{2}

= \frac{\frac{3 x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 x}{4}

= 2 sin (\frac{3 x}{4}) cos (\frac{\frac{x}{2} - x}{2})

\frac{\frac{x}{2} - x}{2} = - \frac{x}{4}

\frac{\frac{x}{2} - x}{2}

Füge

\frac{x}{2} - x

zusammen:

- \frac{x}{2}

\frac{x}{2} - x

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 2}{2}

= \frac{x}{2} - \frac{x \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x - x \cdot 2}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x - 2 x = - x

= \frac{- x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{x}{2}

= \frac{- \frac{x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{x}{2}}{2} = \frac{x}{2 \cdot 2}

= - \frac{x}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{x}{4}

= 2 sin (\frac{3 x}{4}) cos (- \frac{x}{4})

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= 2 cos (\frac{x}{4}) sin (\frac{3 x}{4})

= 2 cos (\frac{x}{4}) sin (\frac{3 x}{4})

2 cos (\frac{x}{4}) sin (\frac{3 x}{4}) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (\frac{x}{4}) = 0 or sin (\frac{3 x}{4}) = 0

cos (\frac{x}{4}) = 0 : x = 2 π + 8 πn, x = 6 π + 8 πn

cos (\frac{x}{4}) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (\frac{x}{4}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

\frac{x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

\frac{x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = 2 π + 8 πn

\frac{x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x}{4} = 4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 x}{4} = 4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn : 2 π + 8 πn

4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{π}{2} = 2 π

4 \cdot \frac{π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 2 π + 8 πn

x = 2 π + 8 πn

x = 2 π + 8 πn

x = 2 π + 8 πn

Löse

\frac{x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 6 π + 8 πn

\frac{x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x}{4} = 4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 x}{4} = 4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn : 6 π + 8 πn

4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{3 π}{2} = 6 π

4 \cdot \frac{3 π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 4}{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 4 = 12

= \frac{12 π}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{2} = 6

= 6 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 6 π + 8 πn

x = 6 π + 8 πn

x = 6 π + 8 πn

x = 6 π + 8 πn

x = 2 π + 8 πn, x = 6 π + 8 πn

sin (\frac{3 x}{4}) = 0 : x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

sin (\frac{3 x}{4}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{3 x}{4}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{3 x}{4} = π + 2 πn

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{3 x}{4} = π + 2 πn

Löse

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn : x = \frac{8 πn}{3}

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{3 x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{3 x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

3 x = 8 πn

3 x = 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{8 πn}{3}

Vereinfache

x = \frac{8 πn}{3}

x = \frac{8 πn}{3}

Löse

\frac{3 x}{4} = π + 2 πn : x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

\frac{3 x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{3 x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 π + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

3 x = 4 π + 8 πn

3 x = 4 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = 4 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Vereinfache

x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 π + 8 πn, x = 6 π + 8 πn, x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

sin (\frac{x}{2}) - sin (x) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 2 π + \frac{8 πn}{3}, x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

sin (\frac{x}{2}) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{x}{2}) - sin (x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) - sin (t) = 2 sin (\frac{s - t}{2}) cos (\frac{s + t}{2})

= 2 sin (\frac{\frac{x}{2} - x}{2}) cos (\frac{\frac{x}{2} + x}{2})

Vereinfache

2 sin (\frac{\frac{x}{2} - x}{2}) cos (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) : - 2 cos (\frac{3 x}{4}) sin (\frac{x}{4})

2 sin (\frac{\frac{x}{2} - x}{2}) cos (\frac{\frac{x}{2} + x}{2})

\frac{\frac{x}{2} - x}{2} = - \frac{x}{4}

\frac{\frac{x}{2} - x}{2}

Füge

\frac{x}{2} - x

zusammen:

- \frac{x}{2}

\frac{x}{2} - x

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 2}{2}

= \frac{x}{2} - \frac{x \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x - x \cdot 2}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x - 2 x = - x

= \frac{- x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{x}{2}

= \frac{- \frac{x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{x}{2}}{2} = \frac{x}{2 \cdot 2}

= - \frac{x}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{x}{4}

= 2 sin (- \frac{x}{4}) cos (\frac{\frac{x}{2} + x}{2})

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= 2 cos (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) (- sin (\frac{x}{4}))

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 2 cos (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) sin (\frac{x}{4})

\frac{\frac{x}{2} + x}{2} = \frac{3 x}{4}

\frac{\frac{x}{2} + x}{2}

Füge

\frac{x}{2} + x

zusammen:

\frac{3 x}{2}

\frac{x}{2} + x

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 2}{2}

= \frac{x}{2} + \frac{x \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + x \cdot 2}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x + 2 x = 3 x

= \frac{3 x}{2}

= \frac{\frac{3 x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 x}{4}

= - 2 cos (\frac{3 x}{4}) sin (\frac{x}{4})

= - 2 cos (\frac{3 x}{4}) sin (\frac{x}{4})

- 2 cos (\frac{3 x}{4}) sin (\frac{x}{4}) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (\frac{3 x}{4}) = 0 or sin (\frac{x}{4}) = 0

cos (\frac{3 x}{4}) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 2 π + \frac{8 πn}{3}

cos (\frac{3 x}{4}) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (\frac{3 x}{4}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 \cdot 3 x}{4} : 3 x

\frac{4 \cdot 3 x}{4}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{12 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{4} = 3

= 3 x

Vereinfache

4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn : 2 π + 8 πn

4 \cdot \frac{π}{2} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{π}{2} = 2 π

4 \cdot \frac{π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 2 π + 8 πn

3 x = 2 π + 8 πn

3 x = 2 π + 8 πn

3 x = 2 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = 2 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Vereinfache

x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Löse

\frac{3 x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 2 π + \frac{8 πn}{3}

\frac{3 x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{3 x}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 \cdot 3 x}{4} : 3 x

\frac{4 \cdot 3 x}{4}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{12 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{4} = 3

= 3 x

Vereinfache

4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn : 6 π + 8 πn

4 \cdot \frac{3 π}{2} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{3 π}{2} = 6 π

4 \cdot \frac{3 π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 4}{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 4 = 12

= \frac{12 π}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{2} = 6

= 6 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 6 π + 8 πn

3 x = 6 π + 8 πn

3 x = 6 π + 8 πn

3 x = 6 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = 6 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{6 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Vereinfache

x = 2 π + \frac{8 πn}{3}

x = 2 π + \frac{8 πn}{3}

x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 2 π + \frac{8 πn}{3}

sin (\frac{x}{4}) = 0 : x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

sin (\frac{x}{4}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{x}{4}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{x}{4} = π + 2 πn

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{x}{4} = π + 2 πn

Löse

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn : x = 8 πn

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x}{4} = 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 8 πn

x = 8 πn

Löse

\frac{x}{4} = π + 2 πn : x = 4 π + 8 πn

\frac{x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x}{4} = 4 π + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 4 π + 8 πn

x = 4 π + 8 πn

x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 2 π + \frac{8 πn}{3}, x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 π + 8 πn, x = 6 π + 8 πn, x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 2 π + \frac{8 πn}{3}, x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 2 π + \frac{8 πn}{3}

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)= 220/370

2sin(3x)*sin(x)=1

arcsin(6x)+arcsin(6sqrt(3x))=-pi/2

2cos^2(x)+sin(x)=5

solvefor x,Y=0.5sin(3.07x-2.4t+0.59)