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受欢迎的三角函数 >

tan(2θ)=(2tan(θ))/(1-tan(θ))

解答

tan (2 θ) = \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )}

解答

θ = πn

+1

度数

θ = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

求解步骤

tan (2 θ) = \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )}

两边减去

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )}

tan (2 θ) - \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )} = 0

化简

tan (2 θ) - \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )} : \frac{tan ( 2 θ ) ( 1 - tan ( θ ) ) - 2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )}

tan (2 θ) - \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )}

将项转换为分式:

tan (2 θ) = \frac{tan ( 2 θ ) ( 1 - tan ( θ ) )}{1 - tan ( θ )}

= \frac{tan ( 2 θ ) ( 1 - tan ( θ ) )}{1 - tan ( θ )} - \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( 2 θ ) ( 1 - tan ( θ ) ) - 2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )}

\frac{tan ( 2 θ ) ( 1 - tan ( θ ) ) - 2 tan ( θ )}{1 - tan ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan (2 θ) (1 - tan (θ)) - 2 tan (θ) = 0

使用三角恒等式改写

(1 - tan (θ)) tan (2 θ) - 2 tan (θ)

使用倍角公式:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= - 2 tan (θ) + \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} (1 - tan (θ))

化简

- 2 tan (θ) + \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} (1 - tan (θ)) : - \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ ) + 1}

- 2 tan (θ) + \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} (1 - tan (θ))

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} (1 - tan (θ)) = \frac{2 tan ( θ )}{tan ( θ ) + 1}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} (1 - tan (θ))

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) ( 1 - tan ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

分解

1 - tan (θ) : - (tan (θ) - 1)

1 - tan (θ)

因式分解出通项

- 1

= - (tan (θ) - 1)

= - \frac{2 tan ( θ ) ( tan ( θ ) - 1 )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

分解

1 - tan^{2} (θ) : - (tan (θ) + 1) (tan (θ) - 1)

1 - tan^{2} (θ)

因式分解出通项

- 1

= - (tan^{2} (θ) - 1)

分解

tan^{2} (θ) - 1 : (tan (θ) + 1) (tan (θ) - 1)

tan^{2} (θ) - 1

将

1

改写为

1^{2}

= tan^{2} (θ) - 1^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

tan^{2} (θ) - 1^{2} = (tan (θ) + 1) (tan (θ) - 1)

= (tan (θ) + 1) (tan (θ) - 1)

= - (tan (θ) + 1) (tan (θ) - 1)

= \frac{2 tan ( θ ) ( tan ( θ ) - 1 )}{( tan ( θ ) + 1 ) ( tan ( θ ) - 1 )}

约分:

tan (θ) - 1

= \frac{2 tan ( θ )}{tan ( θ ) + 1}

= - 2 tan (θ) + \frac{2 tan ( θ )}{tan ( θ ) + 1}

将项转换为分式:

2 tan (θ) = \frac{2 tan ( θ ) ( tan ( θ ) + 1 )}{tan ( θ ) + 1}

= \frac{2 tan ( θ )}{tan ( θ ) + 1} - \frac{2 tan ( θ ) ( tan ( θ ) + 1 )}{tan ( θ ) + 1}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) - 2 tan ( θ ) ( tan ( θ ) + 1 )}{tan ( θ ) + 1}

乘开

2 tan (θ) - 2 tan (θ) (tan (θ) + 1) : - 2 tan^{2} (θ)

2 tan (θ) - 2 tan (θ) (tan (θ) + 1)

乘开

- 2 tan (θ) (tan (θ) + 1) : - 2 tan^{2} (θ) - 2 tan (θ)

- 2 tan (θ) (tan (θ) + 1)

使用分配律:

a (b + c) = ab + a c

a = - 2 tan (θ), b = tan (θ), c = 1

= - 2 tan (θ) tan (θ) + (- 2 tan (θ)) \cdot 1

使用加减运算法则

+ (- a) = - a

= - 2 tan (θ) tan (θ) - 2 \cdot 1 \cdot tan (θ)

化简

- 2 tan (θ) tan (θ) - 2 \cdot 1 \cdot tan (θ) : - 2 tan^{2} (θ) - 2 tan (θ)

- 2 tan (θ) tan (θ) - 2 \cdot 1 \cdot tan (θ)

2 tan (θ) tan (θ) = 2 tan^{2} (θ)

2 tan (θ) tan (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= 2 tan^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2 tan^{2} (θ)

2 \cdot 1 \cdot tan (θ) = 2 tan (θ)

2 \cdot 1 \cdot tan (θ)

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= 2 tan (θ)

= - 2 tan^{2} (θ) - 2 tan (θ)

= - 2 tan^{2} (θ) - 2 tan (θ)

= 2 tan (θ) - 2 tan^{2} (θ) - 2 tan (θ)

同类项相加:

2 tan (θ) - 2 tan (θ) = 0

= - 2 tan^{2} (θ)

= \frac{- 2 tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ ) + 1}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ ) + 1}

= - \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ ) + 1}

- \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ( θ )} = 0

用替代法求解

- \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ( θ )} = 0

令

: tan (θ) = u

- \frac{2 u ^{2}}{1 + u} = 0

- \frac{2 u ^{2}}{1 + u} = 0 : u = 0

- \frac{2 u ^{2}}{1 + u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 u^{2} = 0

解

2 u^{2} = 0 : u = 0

2 u^{2} = 0

两边除以

2

2 u^{2} = 0

两边除以

2

2 u^{2} = 0

两边除以

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{0}{2}

化简

u^{2} = 0

u^{2} = 0

使用法则

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = - 1

取

- \frac{2 u ^{2}}{1 + u}

的分母，令其等于零

解

1 + u = 0 : u = - 1

1 + u = 0

将

1

到右边

1 + u = 0

两边减去

1

1 + u - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

以下点无定义

u = - 1

将不在定义域的点与解相综合:

u = 0

u = tan (θ)

代回

tan (θ) = 0

tan (θ) = 0

tan (θ) = 0 : θ = πn

tan (θ) = 0

tan (θ) = 0

的通解

tan (x)

周期表（周期为

πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

解

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

合并所有解

θ = πn

作图

流行的例子

sqrt(2)cos(θ)+1=0

2 cos (θ) + 1 = 0

4sqrt(2)tan(x)-sqrt(2)=3sqrt(2)tan(x)

42 tan (x) - 2 = 32 tan (x)

7sin(2x)+12cos(x)=0

7 sin (2 x) + 12 cos (x) = 0

solvefor θ,cos(θ)=-cos(40)

so l v e f or θ, cos (θ) = - cos (4 0^{\circ})

7sin(B)+3=sin(B)+2

7 sin (B) + 3 = sin (B) + 2