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Popular Trigonometría >

(sec(x)+csc(x))/(1+tan(x))=sin(x)

Solución

\frac{sec ( x ) + csc ( x )}{1 + tan ( x )} = sin (x)

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

\frac{sec ( x ) + csc ( x )}{1 + tan ( x )} = sin (x)

Restar

sin (x)

de ambos lados

\frac{sec ( x ) + csc ( x )}{1 + tan ( x )} - sin (x) = 0

Simplificar

\frac{sec ( x ) + csc ( x )}{1 + tan ( x )} - sin (x) : \frac{sec ( x ) + csc ( x ) - sin ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )}

\frac{sec ( x ) + csc ( x )}{1 + tan ( x )} - sin (x)

Convertir a fracción:

sin (x) = \frac{sin ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )}

= \frac{sec ( x ) + csc ( x )}{1 + tan ( x )} - \frac{sin ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sec ( x ) + csc ( x ) - sin ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )}

\frac{sec ( x ) + csc ( x ) - sin ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sec (x) + csc (x) - sin (x) (1 + tan (x)) = 0

Expresar con seno, coseno

csc (x) + sec (x) - (1 + tan (x)) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + sec (x) - (1 + tan (x)) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - (1 + tan (x)) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - (1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) sin (x)

Simplificar

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - (1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) sin (x) : \frac{cos ( x ) + sin ( x ) - sin ^{2} ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - (1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) sin (x)

Simplificar

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

en una fracción:

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} sin (x)

Multiplicar

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} sin (x) : \frac{sin ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{cos ( x )}

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} sin (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), cos (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan en al menos una de las expresiones factorizadas

= sin (x) cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{1}{sin ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{1}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{sin ( x ) cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x ) - sin ^{2} ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x ) - sin ^{2} ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x ) + sin ( x ) - ( cos ( x ) + sin ( x ) ) sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) + sin (x) - (cos (x) + sin (x)) sin^{2} (x) = 0

Factorizar

cos (x) + sin (x) - (cos (x) + sin (x)) sin^{2} (x) : - (cos (x) + sin (x)) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

cos (x) + sin (x) - (cos (x) + sin (x)) sin^{2} (x)

Reescribir como

= - (cos (x) + sin (x)) sin^{2} (x) + 1 \cdot (cos (x) + sin (x))

Factorizar el termino común

(cos (x) + sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (- sin^{2} (x) + 1)

Factorizar

- sin^{2} (x) + 1 : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

- sin^{2} (x) + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Factorizar

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (cos (x) + sin (x)) (- (sin (x) + 1) (sin (x) - 1))

Simplificar

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1) (cos (x) + sin (x))

- (cos (x) + sin (x)) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) + sin (x) = 0 or sin (x) + 1 = 0 or sin (x) - 1 = 0

cos (x) + sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4} + πn

cos (x) + sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (x) + sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + tan (x) = 0

1 + tan (x) = 0

Desplace

1

a la derecha

1 + tan (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + tan (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Soluciones generales para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

sin (x) + 1 = 0 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

sin (x) = - 1

sin (x) = - 1

Soluciones generales para

sin (x) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

sin (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

sin (x) = 1

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

\frac{3 π}{4} + πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Gráfica

Ejemplos populares

sec(x)-(sin(x))/(cos(x))=cos(x)

cos(θ)=0.4,sec(θ)

cot(θ)=(1+cos^2(θ))/(2sin(θ)cos(θ))

sec(3x)-csc(30)=0,(x+35)/5

4cos(2θ)-10cos(θ)+14=7,0<= θ<360