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Populaire Trigonométrie >

4cosh(x)+3sinh(x)=5

Solution

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Solution

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Degrés

x = 15.92349 \dots^{\circ}, x = - 127.41593 \dots^{\circ}

étapes des solutions

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Use the Hyperbolic identity:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

4 cosh (x) + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5 : x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Appliquer les règles des exposants

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

4 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

Récrire l'équation avec

e^{x} = u

4 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} = 5

Résoudre

4 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5 : u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

4 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5

Redéfinir

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Multiplier par le PPCM

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Trouver le plus petit commun multiple de

u, 2 u : 2 u

u, 2 u

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

u

ou dans

2 u

= 2 u

Multipier par PPCM =

2 u

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Simplifier

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Simplifier

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u : 4 (u^{2} + 1)

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 2 (u^{2} + 1) \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4 (u^{2} + 1)

Simplifier

\frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 3 (u^{2} - 1)

\frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 3 (u^{2} - 1)

Simplifier

5 \cdot 2 u : 10 u

5 \cdot 2 u

Multiplier les nombres :

5 \cdot 2 = 10

= 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Résoudre

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u : u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Développer

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) : 7 u^{2} + 1

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1)

Développer

4 (u^{2} + 1) : 4 u^{2} + 4

4 (u^{2} + 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = u^{2}, c = 1

= 4 u^{2} + 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4 + 3 (u^{2} - 1)

Développer

3 (u^{2} - 1) : 3 u^{2} - 3

3 (u^{2} - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = u^{2}, c = 1

= 3 u^{2} - 3 \cdot 1

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{2} - 3

= 4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3

Simplifier

4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3 : 7 u^{2} + 1

4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3

Grouper comme termes

= 4 u^{2} + 3 u^{2} + 4 - 3

Additionner les éléments similaires :

4 u^{2} + 3 u^{2} = 7 u^{2}

= 7 u^{2} + 4 - 3

Additionner/Soustraire les nombres :

4 - 3 = 1

= 7 u^{2} + 1

= 7 u^{2} + 1

7 u^{2} + 1 = 10 u

Déplacer

10 u

vers la gauche

7 u^{2} + 1 = 10 u

Soustraire

10 u

des deux côtés

7 u^{2} + 1 - 10 u = 10 u - 10 u

Simplifier

7 u^{2} + 1 - 10 u = 0

7 u^{2} + 1 - 10 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

7 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

7 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 7, b = - 10, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}{2 \cdot 7}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}{2 \cdot 7}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 62

(- 10)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 7 \cdot 1 = 28

= 1 0^{2} - 28

1 0^{2} = 100

= 100 - 28

Soustraire les nombres :

100 - 28 = 72

= 72

Factorisation première de

72 : 2^{3} \cdot 3^{2}

72

72

divisée par

272 = 36 \cdot 2

= 2 \cdot 36

36

divisée par

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 18

18

divisée par

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9

9

divisée par

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{2} 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32

Redéfinir

= 62

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 6 2}{2 \cdot 7}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7}

u = \frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7} : \frac{5 + 3 2}{7}

\frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{10 + 6 2}{2 \cdot 7}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 7 = 14

= \frac{10 + 6 2}{14}

Factoriser

10 + 62 : 2 (5 + 32)

10 + 62

Récrire comme

= 2 \cdot 5 + 2 \cdot 32

Factoriser le terme commun

2

= 2 (5 + 32)

= \frac{2 ( 5 + 3 2 )}{14}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{5 + 3 2}{7}

u = \frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7} : \frac{5 - 3 2}{7}

\frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{10 - 6 2}{2 \cdot 7}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 7 = 14

= \frac{10 - 6 2}{14}

Factoriser

10 - 62 : 2 (5 - 32)

10 - 62

Récrire comme

= 2 \cdot 5 - 2 \cdot 32

Factoriser le terme commun

2

= 2 (5 - 32)

= \frac{2 ( 5 - 3 2 )}{14}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{5 - 3 2}{7}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

4 \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \frac{u - u ^{- 1}}{2}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

Resubstituer

u = e^{x},

résoudre pour

x

Résoudre

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7} : x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7}

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7}

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

Résoudre

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7} : x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7}

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7}

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Graphe

Exemples populaires

tan(θ)=0.04

tan (θ) = 0.04

csc(θ)= 9/11

csc (θ) = \frac{9}{11}

5-7sin(x)=2cos^2(x)

5 - 7 sin (x) = 2 cos^{2} (x)

cos(x)=0.117

cos (x) = 0.117

tan(a)=0.5

tan (a) = 0.5