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Popular Trigonometría >

4cosh(x)+3sinh(x)=5

Solución

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Solución

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Grados

x = 15.92349 \dots^{\circ}, x = - 127.41593 \dots^{\circ}

Pasos de solución

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Re-escribir usando identidades trigonométricas

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Utilizar la identidad hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

4 cosh (x) + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5 : x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Aplicar las leyes de los exponentes

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

4 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

4 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} = 5

Resolver

4 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5 : u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

4 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5

Simplificar

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Multiplicar por el mínimo común múltiplo

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Encontrar el mínimo común múltiplo de

u, 2 u : 2 u

u, 2 u

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

u

2 u

= 2 u

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

2 u

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Simplificar

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Simplificar

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u : 4 (u^{2} + 1)

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 2 (u^{2} + 1) \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 (u^{2} + 1)

Simplificar

\frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 3 (u^{2} - 1)

\frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 3 (u^{2} - 1)

Simplificar

5 \cdot 2 u : 10 u

5 \cdot 2 u

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 2 = 10

= 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Resolver

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u : u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Desarrollar

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) : 7 u^{2} + 1

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1)

Expandir

4 (u^{2} + 1) : 4 u^{2} + 4

4 (u^{2} + 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = u^{2}, c = 1

= 4 u^{2} + 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4 + 3 (u^{2} - 1)

Expandir

3 (u^{2} - 1) : 3 u^{2} - 3

3 (u^{2} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = u^{2}, c = 1

= 3 u^{2} - 3 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{2} - 3

= 4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3

Simplificar

4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3 : 7 u^{2} + 1

4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3

Agrupar términos semejantes

= 4 u^{2} + 3 u^{2} + 4 - 3

Sumar elementos similares:

4 u^{2} + 3 u^{2} = 7 u^{2}

= 7 u^{2} + 4 - 3

Sumar/restar lo siguiente:

4 - 3 = 1

= 7 u^{2} + 1

= 7 u^{2} + 1

7 u^{2} + 1 = 10 u

Desplace

10 u

a la izquierda

7 u^{2} + 1 = 10 u

Restar

10 u

de ambos lados

7 u^{2} + 1 - 10 u = 10 u - 10 u

Simplificar

7 u^{2} + 1 - 10 u = 0

7 u^{2} + 1 - 10 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

7 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

7 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 7, b = - 10, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}{2 \cdot 7}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}{2 \cdot 7}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 62

(- 10)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 7 \cdot 1 = 28

= 1 0^{2} - 28

1 0^{2} = 100

= 100 - 28

Restar:

100 - 28 = 72

= 72

Descomposición en factores primos de

72 : 2^{3} \cdot 3^{2}

72

72

divida por

272 = 36 \cdot 2

= 2 \cdot 36

36

divida por

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 18

18

divida por

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2} 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32

Simplificar

= 62

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 6 2}{2 \cdot 7}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7}

u = \frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7} : \frac{5 + 3 2}{7}

\frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 + 6 2}{2 \cdot 7}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{10 + 6 2}{14}

Factorizar

10 + 62 : 2 (5 + 32)

10 + 62

Reescribir como

= 2 \cdot 5 + 2 \cdot 32

Factorizar el termino común

2

= 2 (5 + 32)

= \frac{2 ( 5 + 3 2 )}{14}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5 + 3 2}{7}

u = \frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7} : \frac{5 - 3 2}{7}

\frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 - 6 2}{2 \cdot 7}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{10 - 6 2}{14}

Factorizar

10 - 62 : 2 (5 - 32)

10 - 62

Reescribir como

= 2 \cdot 5 - 2 \cdot 32

Factorizar el termino común

2

= 2 (5 - 32)

= \frac{2 ( 5 - 3 2 )}{14}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5 - 3 2}{7}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

4 \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \frac{u - u ^{- 1}}{2}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7} : x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

Resolver

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7} : x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Gráfica

Ejemplos populares