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Popular Trigonometria >

tan(x/2)tan(x)=-3

Solução

tan (\frac{x}{2}) tan (x) = - 3

Solução

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

tan (\frac{x}{2}) tan (x) = - 3

Subtrair

- 3

de ambos os lados

tan (\frac{x}{2}) tan (x) + 3 = 0

Sea:

u = \frac{x}{2}

tan (u) tan (2 u) + 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

3 + tan (2 u) tan (u)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= 3 + \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} tan (u)

\frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} tan (u) = \frac{2 tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

\frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} tan (u)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( u ) tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

2 tan (u) tan (u) = 2 tan^{2} (u)

2 tan (u) tan (u)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (u) tan (u) = tan^{1 + 1} (u)

= 2 tan^{1 + 1} (u)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 tan^{2} (u)

= \frac{2 tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

= 3 + \frac{2 tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

3 + \frac{2 tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = 0

Usando o método de substituição

3 + \frac{2 tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = 0

Sea:

tan (u) = u

3 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

3 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 3, u = - 3

3 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

Multiplicar ambos os lados por

1 - u^{2}

3 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

Multiplicar ambos os lados por

1 - u^{2}

3 (1 - u^{2}) + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 0 \cdot (1 - u^{2})

Simplificar

3 (1 - u^{2}) + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 0 \cdot (1 - u^{2})

Simplificar

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) : 2 u^{2}

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2})

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2} ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

1 - u^{2}

= 2 u^{2}

Simplificar

0 \cdot (1 - u^{2}) : 0

0 \cdot (1 - u^{2})

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

3 (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

3 (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

3 (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

Resolver

3 (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0 : u = 3, u = - 3

3 (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

Expandir

3 (1 - u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

3 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = u^{2}

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 u^{2}

3 - 3 u^{2} + 2 u^{2} = 0

Somar elementos similares:

- 3 u^{2} + 2 u^{2} = - u^{2}

3 - u^{2} = 0

Mova

3

para o lado direito

3 - u^{2} = 0

Subtrair

3

de ambos os lados

3 - u^{2} - 3 = 0 - 3

Simplificar

- u^{2} = - 3

- u^{2} = - 3

Dividir ambos os lados por

- 1

- u^{2} = - 3

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 3

u^{2} = 3

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 3, u = - 3

u = 3, u = - 3

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1

Tomar o(s) denominador(es) de

3 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

e comparar com zero

Resolver

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - u^{2} = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 1, u = - 1

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 3, u = - 3

Substituir na equação

u = tan (u)

tan (u) = 3, tan (u) = - 3

tan (u) = 3, tan (u) = - 3

tan (u) = 3 : u = \frac{π}{3} + πn

tan (u) = 3

Soluções gerais para

tan (u) = 3

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{π}{3} + πn

u = \frac{π}{3} + πn

tan (u) = - 3 : u = \frac{2 π}{3} + πn

tan (u) = - 3

Soluções gerais para

tan (u) = - 3

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{2 π}{3} + πn

u = \frac{2 π}{3} + πn

Combinar toda as soluções

u = \frac{π}{3} + πn, u = \frac{2 π}{3} + πn

Substituir na equação

u = \frac{x}{2}

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + πn : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn : \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn

Multiplicar

2 \cdot \frac{π}{3} : \frac{2 π}{3}

2 \cdot \frac{π}{3}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{3}

= \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + πn : x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn : \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

2 \cdot \frac{2 π}{3}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 π 2}{3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

solvefor x,h=tan(x-pi/6)

so l v e f or x, h = tan (x - \frac{π}{6})

sin(x/3)cos(6x)-cos(x/3)sin(6x)=0

sin (\frac{x}{3}) cos (6 x) - cos (\frac{x}{3}) sin (6 x) = 0

6sin(3x)=5

6 sin (3 x) = 5

4/3 =tan(θ)

\frac{4}{3} = tan (θ)

csc^2(2x)-4=0

csc^{2} (2 x) - 4 = 0