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Beliebt Trigonometrie >

3sinh(x)-cosh(x)=1

Lösung

3 sinh (x) - cosh (x) = 1

Lösung

x = ln (2)

Grad

x = 39.71440 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

3 sinh (x) - cosh (x) = 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 sinh (x) - cosh (x) = 1

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - cosh (x) = 1

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 1

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 1

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 1 : x = ln (2)

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2

Vereinfache

3 (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) = 2

Wende Exponentenregel an

3 (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) = 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) - (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) = 2

3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) - (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) = 2

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

3 (u - (u)^{- 1}) - (u + (u)^{- 1}) = 2

Löse

3 (u - u^{- 1}) - (u + u^{- 1}) = 2 : u = 2, u = - 1

3 (u - u^{- 1}) - (u + u^{- 1}) = 2

Fasse zusammen

3 (u - \frac{1}{u}) - (u + \frac{1}{u}) = 2

Vereinfache

- (u + \frac{1}{u}) : - u - \frac{1}{u}

- (u + \frac{1}{u})

Setze Klammern

= - (u) - (\frac{1}{u})

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - u - \frac{1}{u}

3 (u - \frac{1}{u}) - u - \frac{1}{u} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

u

3 (u - \frac{1}{u}) - u - \frac{1}{u} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

u

3 (u - \frac{1}{u}) u - uu - \frac{1}{u} u = 2 u

Vereinfache

3 (u - \frac{1}{u}) u - uu - \frac{1}{u} u = 2 u

Vereinfache

- uu : - u^{2}

- uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

3 (u - \frac{1}{u}) u - u^{2} - 1 = 2 u

3 (u - \frac{1}{u}) u - u^{2} - 1 = 2 u

3 (u - \frac{1}{u}) u - u^{2} - 1 = 2 u

Schreibe

3 (u - \frac{1}{u}) u - u^{2} - 1

um:

2 u^{2} - 4

3 (u - \frac{1}{u}) u - u^{2} - 1

= 3 u (u - \frac{1}{u}) - u^{2} - 1

Multipliziere aus

3 u (u - \frac{1}{u}) : 3 u^{2} - 3

3 u (u - \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 3 uu - 3 u \frac{1}{u}

= 3 uu - 3 \cdot \frac{1}{u} u

Vereinfache

3 uu - 3 \cdot \frac{1}{u} u : 3 u^{2} - 3

3 uu - 3 \cdot \frac{1}{u} u

3 uu = 3 u^{2}

3 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

3 \cdot \frac{1}{u} u = 3

3 \cdot \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= 3

= 3 u^{2} - 3

= 3 u^{2} - 3

= 3 u^{2} - 3 - u^{2} - 1

Vereinfache

3 u^{2} - 3 - u^{2} - 1 : 2 u^{2} - 4

3 u^{2} - 3 - u^{2} - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 u^{2} - u^{2} - 3 - 1

Addiere gleiche Elemente:

3 u^{2} - u^{2} = 2 u^{2}

= 2 u^{2} - 3 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 1 = - 4

= 2 u^{2} - 4

= 2 u^{2} - 4

2 u^{2} - 4 = 2 u

Löse

2 u^{2} - 4 = 2 u : u = 2, u = - 1

2 u^{2} - 4 = 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

2 u^{2} - 4 = 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

2 u^{2} - 4 - 2 u = 2 u - 2 u

Vereinfache

2 u^{2} - 4 - 2 u = 0

2 u^{2} - 4 - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 4 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 4 )}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 4) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 2} : 2

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = - 1

u = 2, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

3 (u - u^{- 1}) - (u + u^{- 1})

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2, u = - 1

u = 2, u = - 1

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 2 : x = ln (2)

e^{x} = 2

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 2

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2)

x = ln (2)

Löse

e^{x} = - 1 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = ln (2)

x = ln (2)

Graph

Beliebte Beispiele

tan(45+x/3)=0.58

tan (4 5^{\circ} + \frac{x}{3}) = 0.58

r=a(1+sin(x))

r = a (1 + sin (x))

tan(Θ)=1.4,180<,Θ<270

tan (Θ) = 1.4, 18 0^{\circ} <, Θ < 27 0^{\circ}

(1+4cos(θ))^2=(sqrt(3)sin(θ))

(1 + 4 cos (θ))^{2} = (3 sin (θ))

sin(θ)-(cos(θ))/5 =0.6377

sin (θ) - \frac{cos ( θ )}{5} = 0.6377