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Beliebt Trigonometrie >

1+cos(pix)=sin(pix)

Lösung

1 + cos (π x) = sin (π x)

Lösung

x = \frac{1}{2} + 2 n, x = 1 + 2 n

Grad

x = 28.64788 \dots^{\circ} + 114.59155 \dots^{\circ} n, x = 57.29577 \dots^{\circ} + 114.59155 \dots^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 + cos (π x) = sin (π x)

Subtrahiere

sin (π x)

von beiden Seiten

1 + cos (π x) - sin (π x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos (x π) - sin (x π)

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

= 1 + cos (x π) - cos (\frac{π}{2} - x π)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= 1 - 2 sin (\frac{x π + \frac{π}{2} - x π}{2}) sin (\frac{x π - ( \frac{π}{2} - x π )}{2})

2 sin (\frac{x π + \frac{π}{2} - x π}{2}) sin (\frac{x π - ( \frac{π}{2} - x π )}{2}) = 2 sin (\frac{4 π x - π}{4})

2 sin (\frac{x π + \frac{π}{2} - x π}{2}) sin (\frac{x π - ( \frac{π}{2} - x π )}{2})

\frac{x π + \frac{π}{2} - x π}{2} = \frac{π}{4}

\frac{x π + \frac{π}{2} - x π}{2}

x π + \frac{π}{2} - x π = \frac{π}{2}

x π + \frac{π}{2} - x π

Fasse gleiche Terme zusammen

= π x - π x + \frac{π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

π x - π x = 0

= \frac{π}{2}

= \frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

= 2 sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{π x - ( - π x + \frac{π}{2} )}{2})

\frac{x π - ( \frac{π}{2} - x π )}{2} = \frac{4 π x - π}{4}

\frac{x π - ( \frac{π}{2} - x π )}{2}

Multipliziere aus

x π - (\frac{π}{2} - x π) : 2 π x - \frac{π}{2}

x π - (\frac{π}{2} - x π)

= π x - (\frac{π}{2} - π x)

- (\frac{π}{2} - x π) : - \frac{π}{2} + x π

- (\frac{π}{2} - x π)

Setze Klammern

= - (\frac{π}{2}) - (- x π)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - \frac{π}{2} + x π

= x π - \frac{π}{2} + x π

Vereinfache

x π - \frac{π}{2} + x π : 2 π x - \frac{π}{2}

x π - \frac{π}{2} + x π

Fasse gleiche Terme zusammen

= π x + π x - \frac{π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

π x + π x = 2 π x

= 2 π x - \frac{π}{2}

= 2 π x - \frac{π}{2}

= \frac{2 π x - \frac{π}{2}}{2}

Füge

2 π x - \frac{π}{2}

zusammen:

\frac{4 π x - π}{2}

2 π x - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π x = \frac{2 π x 2}{2}

= \frac{2 π x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π x \cdot 2 - π}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 π x - π}{2}

= \frac{\frac{4 π x - π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π x - π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 π x - π}{4}

= 2 sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{4 π x - π}{4})

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= 2 \cdot \frac{2}{2} sin (\frac{4 π x - π}{4})

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 sin ( \frac{4 π x - π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 2 sin (\frac{4 π x - π}{4})

= 1 - 2 sin (\frac{4 π x - π}{4})

1 - 2 sin (\frac{4 π x - π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 sin (\frac{4 π x - π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 sin (\frac{4 π x - π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 2 sin (\frac{4 π x - π}{4}) = - 1

- 2 sin (\frac{4 π x - π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 sin (\frac{4 π x - π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 sin ( \frac{4 π x - π}{4} )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

\frac{- 2 sin ( \frac{4 π x - π}{4} )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

\frac{- 2 sin ( \frac{4 π x - π}{4} )}{- 2} : sin (\frac{4 π x - π}{4})

\frac{- 2 sin ( \frac{4 π x - π}{4} )}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 sin ( \frac{4 π x - π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (\frac{4 π x - π}{4})

Vereinfache

\frac{- 1}{- 2} : \frac{2}{2}

\frac{- 1}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{1}{2}

Rationalisiere

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

sin (\frac{4 π x - π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (\frac{4 π x - π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (\frac{4 π x - π}{4}) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{4 π x - π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{4 π x - π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{4 π x - π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Löse

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn : x = \frac{1}{2} + 2 n

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4} : 4 π x - π

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= 4 π x - π

Vereinfache

4 \cdot \frac{π}{4} + 4 \cdot 2 πn : π + 8 πn

4 \cdot \frac{π}{4} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{π}{4} = π

4 \cdot \frac{π}{4}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 4}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= π + 8 πn

4 π x - π = π + 8 πn

4 π x - π = π + 8 πn

4 π x - π = π + 8 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

4 π x - π = π + 8 πn

Füge

π

zu beiden Seiten hinzu

4 π x - π + π = π + 8 πn + π

Vereinfache

4 π x = 2 π + 8 πn

4 π x = 2 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4 π

4 π x = 2 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4 π

\frac{4 π x}{4 π} = \frac{2 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π}

Vereinfache

\frac{4 π x}{4 π} = \frac{2 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π}

Vereinfache

\frac{4 π x}{4 π} : x

\frac{4 π x}{4 π}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= \frac{π x}{π}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

π

= x

Vereinfache

\frac{2 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π} : \frac{1}{2} + 2 n

\frac{2 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π}

Streiche

\frac{2 π}{4 π} : \frac{1}{2}

\frac{2 π}{4 π}

Streiche

\frac{2 π}{4 π} : \frac{1}{2}

\frac{2 π}{4 π}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{2 π}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

π

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{8 πn}{4 π}

Streiche

\frac{8 πn}{4 π} : 2 n

\frac{8 πn}{4 π}

Streiche

\frac{8 πn}{4 π} : 2 n

\frac{8 πn}{4 π}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= \frac{2 πn}{π}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

π

= 2 n

= 2 n

= \frac{1}{2} + 2 n

x = \frac{1}{2} + 2 n

x = \frac{1}{2} + 2 n

x = \frac{1}{2} + 2 n

Löse

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : x = 1 + 2 n

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 π x - π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{3 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4} = 4 \cdot \frac{3 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4} : 4 π x - π

\frac{4 ( 4 π x - π )}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= 4 π x - π

Vereinfache

4 \cdot \frac{3 π}{4} + 4 \cdot 2 πn : 3 π + 8 πn

4 \cdot \frac{3 π}{4} + 4 \cdot 2 πn

4 \cdot \frac{3 π}{4} = 3 π

4 \cdot \frac{3 π}{4}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 4}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= 3 π

4 \cdot 2 πn = 8 πn

4 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 πn

= 3 π + 8 πn

4 π x - π = 3 π + 8 πn

4 π x - π = 3 π + 8 πn

4 π x - π = 3 π + 8 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

4 π x - π = 3 π + 8 πn

Füge

π

zu beiden Seiten hinzu

4 π x - π + π = 3 π + 8 πn + π

Vereinfache

4 π x = 4 π + 8 πn

4 π x = 4 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4 π

4 π x = 4 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

4 π

\frac{4 π x}{4 π} = \frac{4 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π}

Vereinfache

\frac{4 π x}{4 π} = \frac{4 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π}

Vereinfache

\frac{4 π x}{4 π} : x

\frac{4 π x}{4 π}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= \frac{π x}{π}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

π

= x

Vereinfache

\frac{4 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π} : 1 + 2 n

\frac{4 π}{4 π} + \frac{8 πn}{4 π}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

\frac{4 π}{4 π} = 1

= 1 + \frac{8 πn}{4 π}

Streiche

\frac{8 πn}{4 π} : 2 n

\frac{8 πn}{4 π}

Streiche

\frac{8 πn}{4 π} : 2 n

\frac{8 πn}{4 π}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= \frac{2 πn}{π}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

π

= 2 n

= 2 n

= 1 + 2 n

x = 1 + 2 n

x = 1 + 2 n

x = 1 + 2 n

x = \frac{1}{2} + 2 n, x = 1 + 2 n

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x-15)=cos(20+x)

sin (x - 1 5^{\circ}) = cos (2 0^{\circ} + x)

15sin^2(x)-17sin(x)+4=0

15 sin^{2} (x) - 17 sin (x) + 4 = 0

tan^2(x)=2sec(x)

tan^{2} (x) = 2 sec (x)

-sin^2(x)=sin^4(x)

- sin^{2} (x) = sin^{4} (x)

3cos^2(x)=sin(2x)*sin(x)

3 cos^{2} (x) = sin (2 x) \cdot sin (x)