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Popular Trigonometría >

6cos(x)+3sin(x)=5

Solución

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

Solución

x = - 0.26608 \dots + 2 πn, x = 1.19337 \dots + 2 πn

Grados

x = - 15.24526 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 68.37536 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

Restar

3 sin (x)

de ambos lados

6 cos (x) = 5 - 3 sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(6 cos (x))^{2} = (5 - 3 sin (x))^{2}

Restar

(5 - 3 sin (x))^{2}

de ambos lados

36 cos^{2} (x) - 25 + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 25 + 30 sin (x) + 36 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x) : 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

- 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Expandir

36 (1 - sin^{2} (x)) : 36 - 36 sin^{2} (x)

36 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) : 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

- 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Sumar elementos similares:

- 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 45 sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 - 45 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) - 25 + 36

Sumar/restar lo siguiente:

- 25 + 36 = 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

11 + 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

11 + 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, u = \frac{5 + 4 5}{15}

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 45 u^{2} + 30 u + 11 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 45 u^{2} + 30 u + 11 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 45, b = 30, c = 11

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 45 ) \cdot 11}{2 ( - 45 )}

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 45 ) \cdot 11}{2 ( - 45 )}

3 0^{2} - 4 (- 45) \cdot 11 = 245

3 0^{2} - 4 (- 45) \cdot 11

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 3 0^{2} + 4 \cdot 45 \cdot 11

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 45 \cdot 11 = 1980

= 3 0^{2} + 1980

3 0^{2} = 900

= 900 + 1980

Sumar:

900 + 1980 = 2880

= 2880

Descomposición en factores primos de

2880 : 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

2880

2880

divida por

22880 = 1440 \cdot 2

= 2 \cdot 1440

1440

divida por

21440 = 720 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 720

720

divida por

2720 = 360 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 360

360

divida por

2360 = 180 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 180

180

divida por

2180 = 90 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 90

90

divida por

290 = 45 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45

45

divida por

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15

15

divida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 5 2^{6} 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 35

Simplificar

= 245

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 24 5}{2 ( - 45 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )}, u_{2} = \frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )}

u = \frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )} : - \frac{- 5 + 4 5}{15}

\frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 30 + 24 5}{- 2 \cdot 45}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 30 + 24 5}{- 90}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 30 + 24 5}{90}

Cancelar

\frac{- 30 + 24 5}{90} : \frac{4 5 - 5}{15}

\frac{- 30 + 24 5}{90}

Factorizar

- 30 + 245 : 6 (- 5 + 45)

- 30 + 245

Reescribir como

= - 6 \cdot 5 + 6 \cdot 45

Factorizar el termino común

6

= 6 (- 5 + 45)

= \frac{6 ( - 5 + 4 5 )}{90}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{- 5 + 4 5}{15}

= - \frac{4 5 - 5}{15}

= - \frac{- 5 + 4 5}{15}

u = \frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )} : \frac{5 + 4 5}{15}

\frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 30 - 24 5}{- 2 \cdot 45}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 30 - 24 5}{- 90}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 30 - 245 = - (30 + 245)

= \frac{30 + 24 5}{90}

Factorizar

30 + 245 : 6 (5 + 45)

30 + 245

Reescribir como

= 6 \cdot 5 + 6 \cdot 45

Factorizar el termino común

6

= 6 (5 + 45)

= \frac{6 ( 5 + 4 5 )}{90}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{5 + 4 5}{15}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, u = \frac{5 + 4 5}{15}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15} : x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15} : x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Multiplicar

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

por

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

5 = 5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Multiplicar

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

por

x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

- 6.57770 \dots = 5

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Multiplicar

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

por

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

5 = 5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Multiplicar

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

por

x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

0.57770 \dots = 5

\Rightarrow Falso

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 0.26608 \dots + 2 πn, x = 1.19337 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

(2sin(x)-1)cos(x)=0

sin(2x)+cos(x)=0,x<= 2pi,0

6sin(x)=5cos(x)

sin(θ)=(-3)/4

2csc(θ)+3sec(θ)=0