English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cot(θ)+3csc(θ)=5

Решение

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

Решение

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

Градусы

θ = 47.34982 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 155.27003 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

Вычтите

5

с обеих сторон

cot (θ) + 3 csc (θ) - 5 = 0

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 = 0

Упростить

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 : \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{3}{sin ( θ )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( θ )}

Перемножьте числа:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{3}{sin ( θ )} - 5

Сложите дроби

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{3}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

Примените правило

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - 5

Преобразуйте элемент в дробь:

5 = \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 3 - 5 sin (θ) = 0

Добавьте

5 sin (θ)

к обеим сторонам

cos (θ) + 3 = 5 sin (θ)

Возведите в квадрат обе части

(cos (θ) + 3)^{2} = (5 sin (θ))^{2}

Вычтите

(5 sin (θ))^{2}

с обеих сторон

(cos (θ) + 3)^{2} - 25 sin^{2} (θ) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

(3 + cos (θ))^{2} - 25 sin^{2} (θ)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

Упростите

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ)) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

(3 + cos (θ))^{2} : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Примените формулу полного квадрата:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 3, b = cos (θ)

= 3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Упростить

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Перемножьте числа:

2 \cdot 3 = 6

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 (1 - cos^{2} (θ))

Расширить

- 25 (1 - cos^{2} (θ)) : - 25 + 25 cos^{2} (θ)

- 25 (1 - cos^{2} (θ))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) cos^{2} (θ)

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 cos^{2} (θ)

Перемножьте числа:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

Упростить

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) + 9 - 25

Добавьте похожие элементы:

cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) = 26 cos^{2} (θ)

= 6 cos (θ) + 26 cos^{2} (θ) + 9 - 25

Прибавьте/Вычтите числа:

9 - 25 = - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

Решитe подстановкой

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

Допустим:

cos (θ) = u

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0 : u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 26, b = 6, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16) = 1017

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16)

Примените правило

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 16

Перемножьте числа:

4 \cdot 26 \cdot 16 = 1664

= 6^{2} + 1664

6^{2} = 36

= 36 + 1664

Добавьте числа:

36 + 1664 = 1700

= 1700

Первичное разложение на множители

1700 : 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

1700

1700

делится на

21700 = 850 \cdot 2

= 2 \cdot 850

850

делится на

2850 = 425 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 425

425

делится на

5425 = 85 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 85

85

делится на

585 = 17 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

2, 5, 17

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

Примените правило радикалов:

n ab = n a n b

= 17 2^{2} 5^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217 5^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 517

Уточнить

= 1017

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 10 17}{2 \cdot 26}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}, u_{2} = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

u = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26} : \frac{- 3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}

Перемножьте числа:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 + 10 17}{52}

коэффициент

- 6 + 1017 : 2 (- 3 + 517)

- 6 + 1017

Перепишите как

= - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 517

Убрать общее значение

2

= 2 (- 3 + 517)

= \frac{2 ( - 3 + 5 17 )}{52}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{- 3 + 5 17}{26}

u = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26} : - \frac{3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

Перемножьте числа:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 - 10 17}{52}

коэффициент

- 6 - 1017 : - 2 (3 + 517)

- 6 - 1017

Перепишите как

= - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 517

Убрать общее значение

2

= - 2 (3 + 517)

= - \frac{2 ( 3 + 5 17 )}{52}

Отмените общий множитель:

2

= - \frac{3 + 5 17}{26}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

Делаем обратную замену

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26} : θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

Общие решения для

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26} : θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

Общие решения для

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Объедините все решения

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Верно

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Для

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

подключите

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Уточнить

5 = 5

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Неверно

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Для

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

подключите

θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Уточнить

- 5 = 5

\Rightarrow Неверно

Проверьте решение

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Верно

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Для

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

подключите

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Уточнить

5 = 5

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Неверно

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Для

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

подключите

θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Уточнить

- 5 = 5

\Rightarrow Неверно

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры