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Beliebt Trigonometrie >

cos(4x)+1=3sin(2x),-pi/2 <= x<= pi/2

Lösung

cos (4 x) + 1 = 3 sin (2 x), - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

Lösung

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

Grad

x = 1 5^{\circ}, x = 7 5^{\circ}

Schritte zur Lösung

cos (4 x) + 1 = 3 sin (2 x), - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

Subtrahiere

3 sin (2 x)

von beiden Seiten

cos (4 x) + 1 - 3 sin (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos (4 x) - 3 sin (2 x)

cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

cos (4 x)

Schreibe um

= cos (2 \cdot 2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

cos (2 \cdot 2 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

= 2 cos^{2} (2 x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1 - 3 sin (2 x)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1 - 3 sin (2 x) : 2 cos^{2} (2 x) - 3 sin (2 x)

1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1 - 3 sin (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (2 x) - 3 sin (2 x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (2 x) - 3 sin (2 x)

= 2 cos^{2} (2 x) - 3 sin (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 (1 - sin^{2} (2 x)) - 3 sin (2 x)

(1 - sin^{2} (2 x)) \cdot 2 - 3 sin (2 x) = 0

Löse mit Substitution

(1 - sin^{2} (2 x)) \cdot 2 - 3 sin (2 x) = 0

Angenommen:

sin (2 x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{2}

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

Schreibe

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u

um:

2 - 2 u^{2} - 3 u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u

= 2 (1 - u^{2}) - 3 u

Multipliziere aus

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} - 3 u

2 - 2 u^{2} - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Addiere die Zahlen:

9 + 16 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

3 + 5 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (2 x)

ein

sin (2 x) = - 2, sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = - 2, sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = - 2, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} :

Keine Lösung

sin (2 x) = - 2, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

Löse

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

Lösungen für den Bereich

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

Graph

Beliebte Beispiele

3-6cos(x+pi/3)=0

3 - 6 cos (x + \frac{π}{3}) = 0

sin(7.07t)=0.5

sin (7.07 t) = 0.5

tan(x)= 1/(sqrt(3)),0<= x<2pi

tan (x) = \frac{1}{3}, 0 \leq x < 2 π

-2sin(2x)=2pi

- 2 sin (2 x) = 2 π

arccos(θ)= 17/18

arccos (θ) = \frac{17}{18}